Es. di Probabilità - Il Lotto truccato
Il testo dell'esercizio è il seguente :
" Un giocatore gioca al lotto i numeri 1, 2, 3.
Per aiutare la fortuna nottetempo trova il modo di aggiungere
all’urna tre palline supplementari con i numeri 1, 2, 3. (In totale
allora nell’urna vi sono 93 palline).
a) Qual è la probabilità che il trucco venga scoperto (ossia vengano estratte due palline uguali)?
b) Di quanto aumentata la probabilità di fare terno? "
Ecco come ho fatto:
P("vengono estratti due 1 oppure due 2 oppure due 3") = (estrazioni favorevoli per 1$/$ tutte le estrazioni possibili) + (estrazioni favorevoli per 2$/$ tutte le estrazioni possibili) + (estrazioni favorevoli per 3$/$ tutte le estrazioni possibili)
Tutte le estrazioni possibli di 93 numeri a gruppi di 5 sono $((93),(5))$ ipotizzando di riuscire a distinguere gli 1,2,3 originali da quelli aggiunti dopo.
Tutte le estrazioni in cui escono due 1 sono $((2),(2)) * ((91),(3))$. Ciò vale anche per i due 2 e per i due 3.
Quindi sostituendo si ottiene
P("vengono estratti due 1 oppure due 2 oppure due 3") = $(((2),(2)) * ((91),(3))) / (((93),(5))) + (((2),(2)) * ((91),(3))) / (((93),(5))) + (((2),(2)) * ((91),(3))) / (((93),(5))) = 7.0126 * 10 ^ -3$
Mentre il risultato che ho trovato online è $7.015 * 10 ^ -3$ ...
E' giusto il mio ragionamento ? Ho aggiunto delle combinazioni in più ? Esiste un modo diverso per risolverlo ?
Per quanto riguarda il punto b dell'esercizio ho provato ma non mi è ancora venuto un risultato che si avvicini a quello giusto, tuttavia mi interessa prima riuscire a risolvere il punto a.
Un grazie anticipato a chi mi aiuterà
" Un giocatore gioca al lotto i numeri 1, 2, 3.
Per aiutare la fortuna nottetempo trova il modo di aggiungere
all’urna tre palline supplementari con i numeri 1, 2, 3. (In totale
allora nell’urna vi sono 93 palline).
a) Qual è la probabilità che il trucco venga scoperto (ossia vengano estratte due palline uguali)?
b) Di quanto aumentata la probabilità di fare terno? "
Ecco come ho fatto:
P("vengono estratti due 1 oppure due 2 oppure due 3") = (estrazioni favorevoli per 1$/$ tutte le estrazioni possibili) + (estrazioni favorevoli per 2$/$ tutte le estrazioni possibili) + (estrazioni favorevoli per 3$/$ tutte le estrazioni possibili)
Tutte le estrazioni possibli di 93 numeri a gruppi di 5 sono $((93),(5))$ ipotizzando di riuscire a distinguere gli 1,2,3 originali da quelli aggiunti dopo.
Tutte le estrazioni in cui escono due 1 sono $((2),(2)) * ((91),(3))$. Ciò vale anche per i due 2 e per i due 3.
Quindi sostituendo si ottiene
P("vengono estratti due 1 oppure due 2 oppure due 3") = $(((2),(2)) * ((91),(3))) / (((93),(5))) + (((2),(2)) * ((91),(3))) / (((93),(5))) + (((2),(2)) * ((91),(3))) / (((93),(5))) = 7.0126 * 10 ^ -3$
Mentre il risultato che ho trovato online è $7.015 * 10 ^ -3$ ...
E' giusto il mio ragionamento ? Ho aggiunto delle combinazioni in più ? Esiste un modo diverso per risolverlo ?
Per quanto riguarda il punto b dell'esercizio ho provato ma non mi è ancora venuto un risultato che si avvicini a quello giusto, tuttavia mi interessa prima riuscire a risolvere il punto a.
Un grazie anticipato a chi mi aiuterà
Risposte
Secondo me non hai considerato i casi in cui vengono estratte due coppie uguali.
La probabilità di fare un terno è data da: $ (((3),(3)) * ((87),(2))) / ( ((90),(5)) ) $.
Dal documento online dal quale immagino sia stato ricavato il risultato di $ 7.015*10^-3$, c'è anche scritto che la probabilità, rispetto al terno non truccato, aumenta di $ 4.9*10^-4 $.
Visto però che sottraendo si ottiene il seguente valore: $ 6.525*10^-3 $, diverso dal risultato che si ottiene con la formula del calcolo della probabilità di fare un terno, da me proposta e confermata anche al seguente indirizzo: http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/1 ... citaz4.pdf , ritengo che il valore sia errato.
Dal documento online dal quale immagino sia stato ricavato il risultato di $ 7.015*10^-3$, c'è anche scritto che la probabilità, rispetto al terno non truccato, aumenta di $ 4.9*10^-4 $.
Visto però che sottraendo si ottiene il seguente valore: $ 6.525*10^-3 $, diverso dal risultato che si ottiene con la formula del calcolo della probabilità di fare un terno, da me proposta e confermata anche al seguente indirizzo: http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/1 ... citaz4.pdf , ritengo che il valore sia errato.
Io chiamerei $A_i$ con $i=1,2,3$ l'evento "vengono estratte due palline numero $i$". I tre eventi hanno la stessa probabilità che è quella che hai calcolato $p=\frac{((2),(2))((91),(3))}{((93),(5))}$. L'esercizio a) ti richiede la probabilità della riunione degli eventi che però non sono disgiunti, quindi devi calcolare:
$P(A_1 uu A_2 uu A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1 nn A_2)-P(A_1 nn A_3)-P(A_2 nn A_3)+P(A_1 nn A_2 nn A_3)$
Ora l'evento $P(A_1 nn A_2 nn A_3)$ ha probabilità nulla. Rimane da calcolare $P(A_1 nn A_2)$ in quanto $P(A_1 nn A_3)$ e $P(A_2 nn A_3)$ avranno per simmetria la medesima probabilità.
Tale probabilità corrisponde alla probabilità di estrarre 4 palline dal gruppo ${1,1,2,2}$ ed una dal gruppo delle altre 89 palline. Usando ancora l'ipergeometrica hai
$P(A_1 nn A_2)=\frac{((4),(4))((89),(1))}{((93),(5))}$
A questo punto la probabilità richiesta dall'esercizio è:
$P(A_1 uu A_2 uu A_3)=3*\frac{((2),(2))((91),(3))}{((93),(5))}-3*\frac{((4),(4))((89),(1))}{((93),(5))}=0.007$
$P(A_1 uu A_2 uu A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1 nn A_2)-P(A_1 nn A_3)-P(A_2 nn A_3)+P(A_1 nn A_2 nn A_3)$
Ora l'evento $P(A_1 nn A_2 nn A_3)$ ha probabilità nulla. Rimane da calcolare $P(A_1 nn A_2)$ in quanto $P(A_1 nn A_3)$ e $P(A_2 nn A_3)$ avranno per simmetria la medesima probabilità.
Tale probabilità corrisponde alla probabilità di estrarre 4 palline dal gruppo ${1,1,2,2}$ ed una dal gruppo delle altre 89 palline. Usando ancora l'ipergeometrica hai
$P(A_1 nn A_2)=\frac{((4),(4))((89),(1))}{((93),(5))}$
A questo punto la probabilità richiesta dall'esercizio è:
$P(A_1 uu A_2 uu A_3)=3*\frac{((2),(2))((91),(3))}{((93),(5))}-3*\frac{((4),(4))((89),(1))}{((93),(5))}=0.007$
Scusate se riesumo questo post.... non ho capito una cosa:quindi la probabilita` di fare un terno truccato è data da $\frac{((2),(1))((2),(1))((2),(1))((87),(2))}{((93),(5))}$ o sbaglio qualcosa??
Grazie in anticipo
Grazie in anticipo
Ciao, sto facendo lo stesso esercizio e ho notato che manca la soluzione al punto b.
Posto la mia, potete dirmi se è corretta?
Probabilità del terno al lotto:
$(((3),(3))*((87),(2)))/(((90),(5))) = 0.000085$
Probabilità del terno truccato:
$(((6),(3))*((87),(2)))/(((93),(5))) = 0.0043$
Quindi $DeltaP =0.0042$
Giusto?
Posto la mia, potete dirmi se è corretta?
Probabilità del terno al lotto:
$(((3),(3))*((87),(2)))/(((90),(5))) = 0.000085$
Probabilità del terno truccato:
$(((6),(3))*((87),(2)))/(((93),(5))) = 0.0043$
Quindi $DeltaP =0.0042$
Giusto?
$((6),(3))$
no....vuol dire che su sei numeri ne possono uscire 3....non necessariamente una combinazione di 123
a te invece interessa che esca esattamente
$((2),(1))((2),(1))((2),(1))$
che è una cosa diversa....nella tua impostazione hai inserito anche i casi in cui il giocatore viene scoperto, ad esempio
223
221
332
112
ecc ecc
Inoltre i conti che hai fatto non tornano. Infatti
mentre come l'ho impostato io viene effettivamente $0.000576$ (editato errore di conteggio)
che significa circa 5 volte la probabilità dell'urna non truccata.
Però per fare i conti per bene occorrerebbe considerare anche il fatto che il baro non venga scoperto....quindi ci vuole qualche conticino in più...
no....vuol dire che su sei numeri ne possono uscire 3....non necessariamente una combinazione di 123
a te invece interessa che esca esattamente
$((2),(1))((2),(1))((2),(1))$
che è una cosa diversa....nella tua impostazione hai inserito anche i casi in cui il giocatore viene scoperto, ad esempio
223
221
332
112
ecc ecc
Inoltre i conti che hai fatto non tornano. Infatti
"MrMojoRisin89":
$(((6),(3))*((87),(2)))/(((93),(5))) = 0.00144$
mentre come l'ho impostato io viene effettivamente $0.000576$ (editato errore di conteggio)
che significa circa 5 volte la probabilità dell'urna non truccata.
Però per fare i conti per bene occorrerebbe considerare anche il fatto che il baro non venga scoperto....quindi ci vuole qualche conticino in più...
aia è vero!
quindi in questo caso posso scrivere che la probabilità del terno truccato è
$(3((2),(1))*((87),(2)))/(((93),(5)))$?
quindi in questo caso posso scrivere che la probabilità del terno truccato è
$(3((2),(1))*((87),(2)))/(((93),(5)))$?
ho corretto, avevo copiato e incollato dal primo messaggio per non riscrivere tutto e ho dimenticato di sostituire il 90 col 93. Grazie!
La probabilità di fare il terno truccato, a me risulta:
$6/93*4/92*2/91*87/90*86/89*(5!)/(3!*2!)=0,000575856$
Dov'è che sbaglio????
$6/93*4/92*2/91*87/90*86/89*(5!)/(3!*2!)=0,000575856$
Dov'è che sbaglio????
la differenza rispetto al mio calcolo è
$(4\cdot2)/(3!)$
io sono piuttosto sicuro della mia impostazione....ma conoscendoti mi riservo di riguardare i miei conti....
dunque:
la probabiltà che esca la cinquina
123XX è data da $2/93\cdot2/92\cdot2/91\cdot87/90\cdot86/89$
e di queste permutazioni ne posso avere
$(5!)/2=60$
dato che XX sono indifferenti
ti torna?
tu invece ne conti 80...purtroppo io non faccio mai questi conti analitici ma uso già le distribuzioni note...
$(4\cdot2)/(3!)$
io sono piuttosto sicuro della mia impostazione....ma conoscendoti mi riservo di riguardare i miei conti....
dunque:
la probabiltà che esca la cinquina
123XX è data da $2/93\cdot2/92\cdot2/91\cdot87/90\cdot86/89$
e di queste permutazioni ne posso avere
$(5!)/2=60$
dato che XX sono indifferenti
ti torna?
tu invece ne conti 80...purtroppo io non faccio mai questi conti analitici ma uso già le distribuzioni note...
Perfetto!
Non so se te ne sei accorto, ma il tuo ultimo conteggio coincide con il mio.
Infatti (tralasciando il resto, che già collima...):
$2*2*2*60=480$
e
$6*4*2*(5!)/(3!*2!)=480$
Mi conforta anche il fatto che nel terzo intervento, un utente dichiara di avere trovato sul web, che l'incremento di probabilità di fare terno, rispetto ad un'estrazione regolare è:
$4,9*10^-4$
E dai conteggi da noi fatti risulta:
Probabilità truccata meno probabilità regolare $0,000575-0,000085=0,000490$
Non so se te ne sei accorto, ma il tuo ultimo conteggio coincide con il mio.
Infatti (tralasciando il resto, che già collima...):
$2*2*2*60=480$
e
$6*4*2*(5!)/(3!*2!)=480$
Mi conforta anche il fatto che nel terzo intervento, un utente dichiara di avere trovato sul web, che l'incremento di probabilità di fare terno, rispetto ad un'estrazione regolare è:
$4,9*10^-4$
E dai conteggi da noi fatti risulta:
Probabilità truccata meno probabilità regolare $0,000575-0,000085=0,000490$
quindi la formula trovata prima per il terno truccato
$(3((2),(1))*((87),(2)))/(((93),(5)))$
è sbagliata?
$(3((2),(1))*((87),(2)))/(((93),(5)))$
è sbagliata?
Ho controllato i calcoli e da quella formula mi viene che la probabilità dell'evento truccato è $0.00043$
sì scusa....mi son distratto
la formula giusta è quella che ho messo io all'inizio che coincide con il conto di Superpippone
$(((2),(1))((2),(1))((2),(1))((87),(2)))/(((93),(5)))$
$((2),(1))((2),(1))((2),(1)) !=3((2),(1))=2^3$
la formula giusta è quella che ho messo io all'inizio che coincide con il conto di Superpippone
$(((2),(1))((2),(1))((2),(1))((87),(2)))/(((93),(5)))$
$((2),(1))((2),(1))((2),(1)) !=3((2),(1))=2^3$
Scusa se la domanda potrà sembrare impertinente, ma in quel modo non è come se dicessimo:
tutti i modi di estrarre 3 numeri dai 93, includendone
uno dalla coppia degli 1
uno dalla coppia dei 2
uno dalla coppia dei 3
due dai restanti 87?
vedo un conflitto logico: diamo la disposizione di estrarre 5 numeri, e poi al denominatore è come se ne dovessimo estrarre 3... Sono alle prime armi con questi temi, abbiate pazienza
edit:
rettifico la formula, ora tornano i conti:
$(((2),(1))^3*((87),(2)))/(((93),(5)))$
tutti i modi di estrarre 3 numeri dai 93, includendone
uno dalla coppia degli 1
uno dalla coppia dei 2
uno dalla coppia dei 3
due dai restanti 87?
vedo un conflitto logico: diamo la disposizione di estrarre 5 numeri, e poi al denominatore è come se ne dovessimo estrarre 3... Sono alle prime armi con questi temi, abbiate pazienza
edit:
rettifico la formula, ora tornano i conti:
$(((2),(1))^3*((87),(2)))/(((93),(5)))$
..e ti ho anche mostrato analiticamente come la formula della ipergeometrica conicida con la seguente:
la probabilità di estrarre la cinquina
123XX è data da $2/93\cdot2/92\cdot2/91\cdot87/90\cdot86/89$
tale probabiltà va poi moltiplicata per $60=(5!)/(2!)$ per considerare tutte le possibili permutazioni favorevoli
Ps: sarebbe meglio lasciare la formula della ipergeometrica come te l'ho scritta io....in modo che si veda che la distribuzione quadri....$2+2+2+87=93$ e $1+1+1+2=5$
la probabilità di estrarre la cinquina
123XX è data da $2/93\cdot2/92\cdot2/91\cdot87/90\cdot86/89$
tale probabiltà va poi moltiplicata per $60=(5!)/(2!)$ per considerare tutte le possibili permutazioni favorevoli
Ps: sarebbe meglio lasciare la formula della ipergeometrica come te l'ho scritta io....in modo che si veda che la distribuzione quadri....$2+2+2+87=93$ e $1+1+1+2=5$
Era qui che non mi tornavano i conti (oltre all'aver moltiplicato per 3 invece di elevare al cubo):
sicuramente per distrazione non ti sei accorto che nel coefficiente binomiale al denominatore ci va un 5 al posto del 3, non stavo proprio riuscendo a capire il senso della formula.
Comunque, ora mi è chiaro sia il problema, sia l'uso dell'ipergeometrica. Grazie ad entrambi!
"tommik":
la formula giusta è quella che ho messo io all'inizio che coincide con il conto di Superpippone
$(((2),(1))((2),(1))((2),(1))((87),(2)))/(((93),(3)))$
sicuramente per distrazione non ti sei accorto che nel coefficiente binomiale al denominatore ci va un 5 al posto del 3, non stavo proprio riuscendo a capire il senso della formula.
Comunque, ora mi è chiaro sia il problema, sia l'uso dell'ipergeometrica. Grazie ad entrambi!
"MrMojoRisin89":
rto che nel coefficiente binomiale al denominatore ci va un 5 al posto del 3,
e diamine! ovvio....è che intanto che guardo queste cose ho il vizio di lavorare......
Che brutti vizi che hai ... 
ahahahah
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