Enumerazione/Calcolo Combinatorio
Salve ragazzi: come si potrebbe risolvere questo tipo di esercizio?
Quanti sono i numeri naturali $1<=n<=12100$ che sono multipli di almeno uno tra $10, 55, 22$?
Sulle dispense c'è un esercizio simile che però chiede di trovare quante volte la cifra $7$ compare tra i numeri 1 e 999 (e questo son riuscito a risolverlo suddividendo in 3 insiemi S1, S2 ed S3 e sommando le probabilità di trovare xx7, x77, 777 ecc...)
mentre questo esercizio non saprei come risolverlo. Da dove dovrei partire? Potreste darmi dei suggerimenti per poi provare a svolgerlo da solo? Ci sono anche altri 2 esercizi che chiedono di trovare dei multipli tra un intervallo di naturali, vorrei capire qual'è il procedimento da utilizzare per applicarlo anche agli altri. Grazie ragazzi
Quanti sono i numeri naturali $1<=n<=12100$ che sono multipli di almeno uno tra $10, 55, 22$?
Sulle dispense c'è un esercizio simile che però chiede di trovare quante volte la cifra $7$ compare tra i numeri 1 e 999 (e questo son riuscito a risolverlo suddividendo in 3 insiemi S1, S2 ed S3 e sommando le probabilità di trovare xx7, x77, 777 ecc...)
mentre questo esercizio non saprei come risolverlo. Da dove dovrei partire? Potreste darmi dei suggerimenti per poi provare a svolgerlo da solo? Ci sono anche altri 2 esercizi che chiedono di trovare dei multipli tra un intervallo di naturali, vorrei capire qual'è il procedimento da utilizzare per applicarlo anche agli altri. Grazie ragazzi
Risposte
Chiamiamo i nostri 3 dati a,b.c.
Devi trovare quanti sono i numeri divisibili per a, quanti quelli divisibili per b, e quanti quelli divisibili per c.
Fai la somma del tutto.
Da questo togli quelli divisibili per a e b, quelli divisibili per a e c, e quelli divisibili per b e c.
Infine aggiungi quelli divisibili contemporaneamente per a, b e c.
Questo va certamente bene se a, b e c sono coprimi fra loro.
E $10,55,22$ non lo sono.
Per cui bisogna prestare un po' di attenzione....
Cioè devi trovare il mcm tra a e b, tra a e c, tra b e c, tra a-b-c.
Devi trovare quanti sono i numeri divisibili per a, quanti quelli divisibili per b, e quanti quelli divisibili per c.
Fai la somma del tutto.
Da questo togli quelli divisibili per a e b, quelli divisibili per a e c, e quelli divisibili per b e c.
Infine aggiungi quelli divisibili contemporaneamente per a, b e c.
Questo va certamente bene se a, b e c sono coprimi fra loro.
E $10,55,22$ non lo sono.
Per cui bisogna prestare un po' di attenzione....
Cioè devi trovare il mcm tra a e b, tra a e c, tra b e c, tra a-b-c.
Dunque ...
$\lfloor 12100/10 \rfloor = 121$
$\lfloor 12100/22 \rfloor = 550$
$\lfloor 12100/55 \rfloor = 220$
$\lfloor 12100/(10*22) \rfloor = 55$
$\lfloor 12100/(10*55) \rfloor = 22$
$\lfloor 12100/(22*55) \rfloor = 10$
$\lfloor 12100/(10*22*55) \rfloor = 1$
$T=151+550+220-55-22-10+1=805$
Cordialmente, Alex
$\lfloor 12100/10 \rfloor = 121$
$\lfloor 12100/22 \rfloor = 550$
$\lfloor 12100/55 \rfloor = 220$
$\lfloor 12100/(10*22) \rfloor = 55$
$\lfloor 12100/(10*55) \rfloor = 22$
$\lfloor 12100/(22*55) \rfloor = 10$
$\lfloor 12100/(10*22*55) \rfloor = 1$
$T=151+550+220-55-22-10+1=805$
Cordialmente, Alex
Ciao Alex.
Devo dirti che stavolta non concordo con la tua soluzione......
I numeri divisibile contemporaneamente per 10 e 22 non sono $55$ ma $110$.
E così per gli altri casi.
Se non sono coprimi, bisogna trovare il mcm.
Devo dirti che stavolta non concordo con la tua soluzione......
I numeri divisibile contemporaneamente per 10 e 22 non sono $55$ ma $110$.
E così per gli altri casi.
Se non sono coprimi, bisogna trovare il mcm.
Ma io ho solo fatto i conti che hai detto tu ... 
Comunque basta moltiplicare il quarto per due, il quinto per cinque, il sesto per undici e l'ultimo per dieci ... isn't it?
Cordialmente, Alex
Comunque basta moltiplicare il quarto per due, il quinto per cinque, il sesto per undici e l'ultimo per dieci ... isn't it?
Cordialmente, Alex
Sei un furbacchione.....
Io comunque avevo scritto "....bisogna prestare un po' di attenzione...".
Nonostante ciò, sei riuscito a toppare un'altra volta.....
L'ultimo bisogna moltiplicarlo per $2*5*11=110$.
Questo perchè $110$ è il mcm di 10-22, 10-55, 22-55, 10-22-55.
Inoltre "casualmente" $sqrt12.100=110$
Io comunque avevo scritto "....bisogna prestare un po' di attenzione...".
Nonostante ciò, sei riuscito a toppare un'altra volta.....
L'ultimo bisogna moltiplicarlo per $2*5*11=110$.
Questo perchè $110$ è il mcm di 10-22, 10-55, 22-55, 10-22-55.
Inoltre "casualmente" $sqrt12.100=110$
"superpippone":
Sei un furbacchione.....
Esatto.
"superpippone":
L'ultimo bisogna moltiplicarlo per $ 2*5*11=110 $.
Va beh, mi è scappato un uno ...
Cordialmente, Alex
Grazie ragazzi siete fantastici!
Ciao ragazzi, 
ho provato a risolvere l'esercizio grazie ai vostri consigli. Scriverò lo svolgimento completo così mi dite se sono un bravo allievo.
Cerchiamo quanti sono i numeri naturali $1<=n<=12100$ che sono multipli di almeno uno tra $10, 55, 22$.
Cerchiamo l'm.c.m. tra $10,55,22$
$m.c.m(10,22)=110$
$m.c.m(10,55)=110$
$m.c.m(55,22)=110$
$m.c.m(10,55,22)=110$
Notiamo che l'm.c.m. è sempre uguale a $110$
Cerchiamo quanti sono i numeri divisibili per $10,55,22$
1)Divisibili per 10: $(12100)/(10)=1210$
2)Divisibili per 55: $(12100)/(55)=220$
3)Divisibili per 22: $(12100)/(22)=550$
Adesso cerchiamo quelli divisibili per 10 e 55, per 10 e 22, per 55 e 22 e per tutti e 3!
Dato che non sono coprimi, divido per gli mcm che ho trovato prima (che son tutti uguali) quindi:
4)Divisibili per 10 e 22: $(12100)/(110)=110$
5)Divisibili per 10 e 55: $(12100)/(110)=110$
6)Divisibili per 55 e 22: $(12100)/(110)=110$
7)Divisibili per 10, 55 e 22: $(12100)/(110)=110$
Sommo 1),2),3); sottraggo 4),5),6); ed infine sommo 7). Giusto
Quindi ottengo $1210+220+550-110-110-110+110 rArr 1210+550 = 1760$
Ci sono $1760$ numeri multipli di almeno $10,55,22$ compresi tra $1<=n<=12100$
ho provato a risolvere l'esercizio grazie ai vostri consigli. Scriverò lo svolgimento completo così mi dite se sono un bravo allievo.Cerchiamo quanti sono i numeri naturali $1<=n<=12100$ che sono multipli di almeno uno tra $10, 55, 22$.
Cerchiamo l'm.c.m. tra $10,55,22$
$m.c.m(10,22)=110$
$m.c.m(10,55)=110$
$m.c.m(55,22)=110$
$m.c.m(10,55,22)=110$
Notiamo che l'm.c.m. è sempre uguale a $110$
Cerchiamo quanti sono i numeri divisibili per $10,55,22$
1)Divisibili per 10: $(12100)/(10)=1210$
2)Divisibili per 55: $(12100)/(55)=220$
3)Divisibili per 22: $(12100)/(22)=550$
Adesso cerchiamo quelli divisibili per 10 e 55, per 10 e 22, per 55 e 22 e per tutti e 3!
Dato che non sono coprimi, divido per gli mcm che ho trovato prima (che son tutti uguali) quindi:
4)Divisibili per 10 e 22: $(12100)/(110)=110$
5)Divisibili per 10 e 55: $(12100)/(110)=110$
6)Divisibili per 55 e 22: $(12100)/(110)=110$
7)Divisibili per 10, 55 e 22: $(12100)/(110)=110$
Sommo 1),2),3); sottraggo 4),5),6); ed infine sommo 7). Giusto
Quindi ottengo $1210+220+550-110-110-110+110 rArr 1210+550 = 1760$
Ci sono $1760$ numeri multipli di almeno $10,55,22$ compresi tra $1<=n<=12100$
Ciao.
Si $1.760$ è la risposta corretta.
Neanche mi ero accorto che Alex al posto di $1.210$ aveva scritto $121$ nella tabella e $151$ nella somma....
Si vede che è stato un po' precipitoso.....
Si $1.760$ è la risposta corretta.
Neanche mi ero accorto che Alex al posto di $1.210$ aveva scritto $121$ nella tabella e $151$ nella somma....
Si vede che è stato un po' precipitoso.....
"superpippone":
... Si vede che è stato un po' precipitoso.....
Minimo ...
@darkfog
Solo una precisazione: del risultato delle divisioni devi prendere SOLO la parte intera.
Non era questo il caso, ma se ti ricapita ... se noti avevo messo le divisioni tra un simbolo che gli inglesi chiamano "floor" (funzione "pavimento", ma c'è anche il "soffitto" ("ceiling") ...
)
Cordialmente, Alex
Solo una precisazione: del risultato delle divisioni devi prendere SOLO la parte intera.
Non era questo il caso, ma se ti ricapita ... se noti avevo messo le divisioni tra un simbolo che gli inglesi chiamano "floor" (funzione "pavimento", ma c'è anche il "soffitto" ("ceiling") ...
)Cordialmente, Alex
ciao Alex, grazie mille per la precisazione! La terrò presente se mi dovesse capitare un numero decimale Grazie ancora ragazzi!
Grazie ancora ragazzi!
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