Dubbio t student

[abbas90]

Salve scusate se è banale come domanda, ma noto su internet che alcuni esercizi usano:
$ (X-\barX)/(S/\sqrtn) $
come statistica distribuita secondo la t di student anche nel caso in cui $X$ non sia distribuita gaussianamente. Cioè il numeratore di quella statistica è gaussiano in virtù del TLC, ma il denominatore non è distribuito secondo una chi quadro nel caso in cui $X$ abbia una distribuzione qualunque. Mi illuminate su questo problema?

[Lo_zio_Tom]

Prima di tutto, ciò che non va bene lì è il numeratore che deve essere $bar (X)-mu $.
Per i dettagli puoi guardare qui

Per usare la t di Student però la X deve necessariamente essere gaussiana perché altrimenti, come hai giustamente notato, $(n-1) S^2/sigma ^2$ non è una $chi^2$.

Se n é grande superi il problema utilizzando un test z e ciò perché si conosce la distribuzione asintotica dello stimatore di massima verosimiglianza: $hat (theta)~N (theta;k (theta)) $ dove $k (theta) $ è il membro di destra della disuguaglianza di Cramér Rao. Oppure si risolve per altre vie, ad esempio con il test $chi^2$ asintotico.

Se alcuni usano la t di Student impropriamente... peggio per loro.

Ecco comunque cosa dicono i Testi Sacri sull'argomento:

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Come vedi, dicono esattamente ciò che ho detto io.... (meglio: sono io che dico esattamente ciò che c'è scritto nei Testi Sacri)

Spero che sia chiaro