Dubbio sulla varianza

[jarrod]

Una lampada è composta da 2 lampadine. La durata X di una lampadina, misurata in ore, è normale di media 800 e varianza 104. La durata Y dell’altra lampadina è normale di media 900 e varianza 22500. Le durate sono indipendenti. Trova: a) la probabilità che la seconda duri 200 ore più della prima.
$P(Y >= X + 200) = P(Y - X >= 200)$

$E(Y - X) = E(Y) - E(X) = 100$
$Var( Y - X) = \sigma_x^2 + \sigma_y^2 = 32500$ (siccome x e y sono indipendenti, la covarianza è uguale a zero)

Poi applico la normale standard con media 100 e varianza 32500, e svolgendo i calcoli ottengo che la seconda lampadina duri almeno 200 in più della prima lampadina con probabilità 0.292.

Non capisco una cosa abbastanza banale, io negli appunti per calcolare la varianza di $Y + X$, ho la somma della varianza di x della varianza di y siccome la covarianza è uguale a zero (per l'indipendenza di X e Y).
Io sinceramente in questo caso avrei applicato invece la sottrazione tra la varianza di y e la varianza di x.
Qualcuno saprebbe spiegarmi il motivo per cui applico in questo caso la somma della varianza di x e della varianza di y?

[Lo_zio_Tom]

"jarrod":
Io sinceramente in questo caso avrei applicato invece la sottrazione tra la varianza di y e la varianza di x.

urka....no


$V(X-Y)=E[(X-Y)^2]-[E(X-Y)]^2=E[X^2-2XY+Y^2]-[E(X)-E(Y)]^2=$

$=E(X^2)-2E(XY)+E(Y^2)-E^2(X)-E^2(Y)+2E(X)E(Y)=$

$=V(X)+V(Y)-2cov(X,Y)=$ per l'indipendenza tra X e Y $=V(X)+V(Y)$


Rivedi il testo perché hai scritto che la X ha varianza 104....e non mi pare dal resto dello svolgimento

[jarrod]

Grazie mille, ora mi è chiaro tutto.
Sisi grazie, è un errore di battitura, mi sono dimenticato di elevare, in realtà la varianza è $10^4$