Dubbio sulla densità marginale

[jarrod]

Ho la densità congiunta: $f(x, y) = 2 · e^(−(x+y)) I_(0,+∞) (x) I_(x,+∞) (y)$
Per trovare le densità marginali devo fare:
$2\int_x^(+oo)(e^(-x))*(e^(-y))dy$
$2\int_0^(y)(e^(-x))*(e^(-y))dx$
Perchè nella densità marginale della y devo integrare da zero a y?
Io invece avrei integrato da x a $+oo$.
Qualcuno saprebbe spiegarmi il motivo?

[Lo_zio_Tom]

basta riscrivere la funzione così:

$f(x,y)=2e^(-(x+y))$; $0
e quindi vedi subito in che range variano le due marginali:

per trovare $f_(Y)$ devi integrare tutta la x, che varia appunto da zero a y.

Inoltre esiste anche un altro metodo: condizione necessaria affinché le variabili siano indipendenti è che il dominio della congiunta sia rettangolare (o unione di rettangoli)...qui il dominio parte dalla bisettrice del primo quadrante in su.....le variabili sono dipendenti

[jarrod]

Grazie mille, ora ho capito! Un'ultima cosa.. per capire se le densità marginali sono variabili aleatorie indipendenti, va bene se verifico che la funzione congiunta sia uguale al prodotto delle densità marginali?
Quindi:
$f(x, y) = 2 · e^(−(x+y)) = 2e^(-2x) * (- 2e^(-2y) + 2e^(-y))$
dove: $2e^(-2x) * (- 2e^(-2y) + 2e^(-y))$ è il prodotto delle due densità marginali

[jarrod]

Grazie mille!!