Dubbio sul calcolo combinatorio
Salve a tutti . Vi ringrazio anticipatamente per il vostro contributo , e faccio i complimenti a chi mantiene vivo questo forum,che credo sia una grande idea . Sono nuovo!
Allora il dubbio è relativo al seguente esercizio di Calcolo della Probabilità , banale in sè :
Ho un lotto di 15 elementi di cui 5 non conformi . Ne estraggo , "con rimessa" 5 ;qual'è la probabilità di estrarne due non conformi su 5 estratti???
Chiamiamo con C gli elementi conformi, con NC i non conformi.
Il problema viene risolto dal libro, giustamente come prodotto della probabilità della concomitanza degli eventi che formano quello di nostro interesse ,per il numero di modi in cui questa concomitanza può presentarsi ovvero :
$ Pr{(2NC) } =( ( 5 ),( 2 ) )*5 // 15*5 // 15*10 // 15*10 // 15*10 // 15 $
Fin qui ci siamo . Il dubbio è relativo al fatto che io ero convinto , ma i calcoli non mi danno ragione , che in questo modo successivo si otteneva lo stesso risultato :
$ Cr( ( 5 ),( 2 ) )*Cr( ( 10 ),( 3 ) ) // Cr( ( 15 ),( 10 ) ) $
dove con Cr intendo le combinazioni con ripetizione .
Perchè questa volta non mi trovo calcolando la probabilità richiesta anche come rapporto tra eventi favorevoli su eventi totali e quindi facendo affidamento al solo calcolo combinatorio? Sbaglio formula o è un caso in cui non posso effettuare il rapporto eventi favoreli/eventi totali???
Allora il dubbio è relativo al seguente esercizio di Calcolo della Probabilità , banale in sè :
Ho un lotto di 15 elementi di cui 5 non conformi . Ne estraggo , "con rimessa" 5 ;qual'è la probabilità di estrarne due non conformi su 5 estratti???
Chiamiamo con C gli elementi conformi, con NC i non conformi.
Il problema viene risolto dal libro, giustamente come prodotto della probabilità della concomitanza degli eventi che formano quello di nostro interesse ,per il numero di modi in cui questa concomitanza può presentarsi ovvero :
$ Pr{(2NC) } =( ( 5 ),( 2 ) )*5 // 15*5 // 15*10 // 15*10 // 15*10 // 15 $
Fin qui ci siamo . Il dubbio è relativo al fatto che io ero convinto , ma i calcoli non mi danno ragione , che in questo modo successivo si otteneva lo stesso risultato :
$ Cr( ( 5 ),( 2 ) )*Cr( ( 10 ),( 3 ) ) // Cr( ( 15 ),( 10 ) ) $
dove con Cr intendo le combinazioni con ripetizione .
Perchè questa volta non mi trovo calcolando la probabilità richiesta anche come rapporto tra eventi favorevoli su eventi totali e quindi facendo affidamento al solo calcolo combinatorio? Sbaglio formula o è un caso in cui non posso effettuare il rapporto eventi favoreli/eventi totali???
Risposte
La formula che hai ricavato te è praticamente quella della distribuzione ipergeometrica. Solo che in questo caso le estrazioni sono con reinserimento, e quella distribuzione va usata quando non c'è il reinserimento.
Invece la formula indicata dal tuo libro è come quella di una binomiale, usata proprio nel caso di estrazioni con rimessa.
Se non hai affrontato questi argomenti, pensa al fatto che con reinserimento gli eventi sono tutti indipendenti, mentre senza reinserimento sono dipendenti. La formula da te ricavata implica la dipendenza tra l'estrazione di elementi non conformi e conformi, quando questa dipendenza invece non c'è.
Invece la formula indicata dal tuo libro è come quella di una binomiale, usata proprio nel caso di estrazioni con rimessa.
Se non hai affrontato questi argomenti, pensa al fatto che con reinserimento gli eventi sono tutti indipendenti, mentre senza reinserimento sono dipendenti. La formula da te ricavata implica la dipendenza tra l'estrazione di elementi non conformi e conformi, quando questa dipendenza invece non c'è.
La differenza tra estrazioni con rimessa e non , e quindi la differenza tra eventi s-dipendenti e s-indipendenti che ne scaturisce è chiara! Quello che però io sapevo , è che le Cr, Combinazioni con ripetizione , individuano il numero di combinazioni in un'estrazione con rimessa . Perciò ero convinto che fosse così prima di effettuare i calcoli . Non mi è ancora chiaro dalla tua risposta Arado90!
AIUTO!!!
A parte il regolamento, la tua idea sulle combinazioni con ripetizione è corretta, quello che hai sbagliato è stato il modo in cui le hai usate nella tua formula per l'esercizio in questione.
I casi favorevoli non possono essere il prodotto tra $((5),(2))$ e $((10),(3))$ perchè questo implicherebbe che la composizione dell'urna risente degli elementi estratti.
In questo modo intendi le combinazioni dei 5 elementi NC a gruppi di due e quindi dei 10 elementi conformi a gruppi di 3; ma essendo le estrazioni con ripetizione, il numero di NC estratte non può influenzare quello di conformi (il passaggio "5 su 2 e quindi 10 su 3" da te fatto è quindi errato, va bene solo con la dipendenza).
Te ne puoi accorgere ancora meglio se prendi un numero di estrazioni $>5$. La tua formula pare corretta per $5$ estrazioni in cui vuoi $2$ NC, ma se prendiamo ad esempio $10$ estrazioni e la probabilità di $7$ NC, non "funziona" più. Lo vedi sia analiticamente sia ragionando di nuovo sul concetto di estrazioni con ripetizione: anche se sono solo $5$ le NC e facciamo $10$ estrazioni con ripetizione, possiamo ottenere più di $5$ NC fino a $10$, mentre la tua formula non prevede questa possibilità che è data dal fatto stesso che le estrazioni siano con ripetizione.
Prima di risponderti riguardo la teoria,voglio precisare alcune cose . Forse ho sbagliato ad usare la parola "aiuto",in quanto a rigore di regolamento ,può far sembrare la mia domanda esclusivamente volta alla risoluzione di un esercizio al fine di un profitto . L'esercizio l'ho svolto,come concomitanza , come ho già detto,ma avendone fatti tanti e avendo riscontrato l'equivalenza tra i due modi di procedere , uno squisitamente relativo al calcolo combinatorio e l'altro guardando alla concomitanza di eventi , non riuscivo a ritrovarla in questo , e l'aiuto non è per la risoluzione ma per un mio ,chiamiamolo dubbio esistenziale ,che mi assale .Ti dirò di più , al 99% questo dubbio non leverebbe nulla alla mia preparazione d'esame , questo lo dico per avvalorare il fatto che è una mia questione personale, di voler sempre andare oltre nella conoscenza , ciò unito alla voglia di mettermi in discussione con le mie idee .
Per qunto riguarda lo stile MAIUSC e la sollecitazione , chiedo scusa a tutti , non era mia intenzione alzare la voce , e non avevo dato questo tipo di interpretazione,molto giusta comunque , nè avevo letto il regolamento, in quanto mi sono iscritto poche ore fa .
Ti ringrazio per avermi fatto notare il regolamento ARADO90 , e mi scuso ancora con te e tutti!
Tornando alla questione del problema , o meglio dell'utilizzo delle formule di calcolo combinatorio, il ragionamento che mi aveva portato a quel tipo di formula,che secondo me racchiudeva anche la tua giusta osservazione riguardo il fatto che "con ripetizione" anche se le NC sono 5 ,facendo 10 estrazioni possiamo ottenere più di 5 NC , è il seguente :
Voglio la probabilità di 2 NC in 5 estrazioni con ripetizione ; questo vuol dire che oltre alle combinazioni semplici posso ripescare più volte lo stesso pezzo e quindi effettivamente posso avere più NC di quanti ce ne sono effettivamente(anche se poi in realtà in questo specifico caso sono 5 quanto le estrazioni) . Aumenta quindi il numero di combinazioni riguardanti le 5 NC su 2 posti , come anche quello delle 10 su 3 posti . E aumenta il numero totale degli eventi pure ,dove potrò avere anche casi in cui le 5 estrazioni riguardano lo stesso pezzo sempre (es.Combinazioni con ripetizione di A,B,C su 2 posti = AA,AB,AC,BB,BC,CC) . Immaginando ogni pezzo dotato di matricola unica, nei casi totali in questo modo avrò anche ciò che dicevi tu ,ovvero la possibilità di avere più volte lo stesso pezzo .
Voglio precisare un'ulteriore cosa : forse ho sbagliato a scrivere i coefficienti binomiali e mi riferisco a quelli della seconda formula da me ipotizzata e non il singolo coefficiente della formula del libro(la prima per intenderci meglio) ,ma pensavo di aver reso l'idea con la denotazione Cr : non sono i soliti coefficienti binomiali
[n! / (k!)*(n-k)!]
ma sono quelli relativi alle combinazioni con ripetizione ovvero :
[(n+k-1)! / (k!)*(n-1)!] .
Effettivamente la notazione del messaggio precedente col simbolo di coefficiente binomiale poteva sviare , nonostante il "Cr" che precedeva quest'ultimo .
Mi resta il dubbio che ci sia la possibilità di poter usare anche solo il rapporto tra (eventi favorevoli/eveni totali) ,e che ci sia qualcosa che al momento mi sfugge da cambiare in quella formula forse .
Per qunto riguarda lo stile MAIUSC e la sollecitazione , chiedo scusa a tutti , non era mia intenzione alzare la voce , e non avevo dato questo tipo di interpretazione,molto giusta comunque , nè avevo letto il regolamento, in quanto mi sono iscritto poche ore fa .
Ti ringrazio per avermi fatto notare il regolamento ARADO90 , e mi scuso ancora con te e tutti!
Tornando alla questione del problema , o meglio dell'utilizzo delle formule di calcolo combinatorio, il ragionamento che mi aveva portato a quel tipo di formula,che secondo me racchiudeva anche la tua giusta osservazione riguardo il fatto che "con ripetizione" anche se le NC sono 5 ,facendo 10 estrazioni possiamo ottenere più di 5 NC , è il seguente :
Voglio la probabilità di 2 NC in 5 estrazioni con ripetizione ; questo vuol dire che oltre alle combinazioni semplici posso ripescare più volte lo stesso pezzo e quindi effettivamente posso avere più NC di quanti ce ne sono effettivamente(anche se poi in realtà in questo specifico caso sono 5 quanto le estrazioni) . Aumenta quindi il numero di combinazioni riguardanti le 5 NC su 2 posti , come anche quello delle 10 su 3 posti . E aumenta il numero totale degli eventi pure ,dove potrò avere anche casi in cui le 5 estrazioni riguardano lo stesso pezzo sempre (es.Combinazioni con ripetizione di A,B,C su 2 posti = AA,AB,AC,BB,BC,CC) . Immaginando ogni pezzo dotato di matricola unica, nei casi totali in questo modo avrò anche ciò che dicevi tu ,ovvero la possibilità di avere più volte lo stesso pezzo .
Voglio precisare un'ulteriore cosa : forse ho sbagliato a scrivere i coefficienti binomiali e mi riferisco a quelli della seconda formula da me ipotizzata e non il singolo coefficiente della formula del libro(la prima per intenderci meglio) ,ma pensavo di aver reso l'idea con la denotazione Cr : non sono i soliti coefficienti binomiali
[n! / (k!)*(n-k)!]
ma sono quelli relativi alle combinazioni con ripetizione ovvero :
[(n+k-1)! / (k!)*(n-1)!] .
Effettivamente la notazione del messaggio precedente col simbolo di coefficiente binomiale poteva sviare , nonostante il "Cr" che precedeva quest'ultimo .
Mi resta il dubbio che ci sia la possibilità di poter usare anche solo il rapporto tra (eventi favorevoli/eveni totali) ,e che ci sia qualcosa che al momento mi sfugge da cambiare in quella formula forse .
"tangarana":
$Cr( ( 5 ),( 2 ) )*Cr( ( 10 ),( 3 ) ) // Cr( ( 15 ),( 10 ) ) $
qui volevi forse dire $Cr( ( 5 ),( 2 ) )*Cr( ( 10 ),( 3 ) ) // Cr( ( 15 ),( 5 ) ) $ Ma comunque non otterrai gli stessi risultati che ti aspetti.
Dico la mia. La formula della binomiale (estrazioni con reimmissione), la possiamo riarrangiare così:
$P(2)=( ( 5 ),( 2 ) )*(5/15)^2 *(10/15)^3=(( ( 5 ),( 2 ) )*5^2*10^3)/15^5$
Puoi interpretare il denominatore come i casi totali: le disposizioni con ripetizione di 15 elementi presi 5 alla volta.
Il numeratore sarà il numero di casi favorevoli.
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