Dubbio sui teoremi di probabilità in un esercizio
Un lotto di 20 componenti ne contiene 5 che sono difettose. Vengono estratte senza rimessa due componenti. Sia $D_{1}$ l'evento per cui la prima è difettosa. Sia $D_{2}$ l’evento per cui la seconda è difettosa. Trovare: a) $P(D_{2}|D_{1})$; b) $P(D_{1} ∩ D_{2})$; c) $P(D_{1}^c ∩ D_{2})$ ; d) $P(D_{2})$; e) $P(D_{1}|D_{2})$
Per quanto riguarda i primi 3 quesiti sono riuscito a risolverli da solo e i risultati sono $4/19$,$1/19$, $15/76$.
però non riesco a risolvere gli ultimi due.
nel d) ho applicato la formula $(D_{1}∩D_{2}) = P(D_{1}) * P(D_{2})$ e ho fatto la formula inversa, ma il risultato non corrisponde (dovrebbe essere $19/76$)
nel e) ho applicato $P(D_{1}|D_{2}) = P(D_{2})$ ma nemmeno questo risultato corrisponde (dovrebbe essere $0.21$)
Qualcuno potrebbe risolvermi quest'ultimi due quesiti e dirmi dove sbaglio? Mi farebbe un grosso favore
Per quanto riguarda i primi 3 quesiti sono riuscito a risolverli da solo e i risultati sono $4/19$,$1/19$, $15/76$.
però non riesco a risolvere gli ultimi due.
nel d) ho applicato la formula $(D_{1}∩D_{2}) = P(D_{1}) * P(D_{2})$ e ho fatto la formula inversa, ma il risultato non corrisponde (dovrebbe essere $19/76$)
nel e) ho applicato $P(D_{1}|D_{2}) = P(D_{2})$ ma nemmeno questo risultato corrisponde (dovrebbe essere $0.21$)
Qualcuno potrebbe risolvermi quest'ultimi due quesiti e dirmi dove sbaglio? Mi farebbe un grosso favore
Risposte
Nel d) non puoi usare quella formula perchè la probabilità che il secondo componente sia difettoso dipende dalla prima estrazione, ovvero gli eventi non sono indipendenti. Per questo motivo devi usare il teorema della probabilità totale.
Dopo di che il caso e) è facile perchè basta usare Bayes.
Dopo di che il caso e) è facile perchè basta usare Bayes.
ciao, io ho provato a seguire il tuo suggerimento, ma i risultati non corrispondono. Ho l'impressione che la $P(D_{1}) = 5/20$ sia sbagliata. (però non capisco il motivo per cui sia sbagliata, cioè secondo me è uguale a $5/20$ perchè è la probabilità che la prima volta peschi la componente difettosa. Tu la pensi come me, oppure a $P(D_{1})$ attribuiresti un altro valore?
Anche io ho attribuito a $P(D_1), 5/20$. Magari sbagli ad applicare il teorema. Io ho fatto così:
$P(D_2)=P(D_2|D_1)P(D_1)+P(D_2|(D_1)^c)P((D_1)^c) = 4/19 * 5/20 + 5/19*15/20 = 1/19+15/76=19/76$
$P(D_2)=P(D_2|D_1)P(D_1)+P(D_2|(D_1)^c)P((D_1)^c) = 4/19 * 5/20 + 5/19*15/20 = 1/19+15/76=19/76$
Infatti ho fatto il tuo stesso procedimento e i calcoli non portano a $19/76$ ma bensì a $1/4$
Infatti. 76 è multiplo di 19, precisamente di un fattore 4. Prova a fare la divisione e vedi che il risultato è uguale.
Hai proprio ragione, scusa per l'errore di distrazione. Grazie mille per l'aiuto!!
Tranquillo! 
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