Dubbio su trasformazione di v.a.
Considerando due variabili $X$ e $Y$ entrambe distribuite in modo log-normale.
Consideriamo $f(X,Y) = ln(X/Y)$
Possiamo allora dire che $f(X,Y) = ln(X) – ln(Y)$ ?
Se è vero, allora siccome il $ln$ di una v.a. log-normale è normale ed anche una differenza di normali e normale, allora anche $f(X,Y)$ si distribuisce normalmente.
Eppure non sono convinto fino in fondo perché considerando $W = X / Y$ mi sembra che non si distribuisca log-normalmente.
Ed allora perché potrei dire che $f(W) = ln(W)$ si distribuisce normalmente ?
Consideriamo $f(X,Y) = ln(X/Y)$
Possiamo allora dire che $f(X,Y) = ln(X) – ln(Y)$ ?
Se è vero, allora siccome il $ln$ di una v.a. log-normale è normale ed anche una differenza di normali e normale, allora anche $f(X,Y)$ si distribuisce normalmente.
Eppure non sono convinto fino in fondo perché considerando $W = X / Y$ mi sembra che non si distribuisca log-normalmente.
Ed allora perché potrei dire che $f(W) = ln(W)$ si distribuisce normalmente ?
Risposte
Vorrei riprendere l'argomento per affrontarlo da un punto di vista un po diverso rispetto a quello affrontato nel post indicato.
Ricapitolando abbiamo che $W$ si distribuisce log-normalmente e quindi $w = ln(W) = ln(X) - ln(Y)$ si distribuisce normalmente.
Il fatto che $X$ ed $Y$ siano indipendenti o meno, se non erro, implica la medesima condizione su $ln(X)$ e $ln(Y)$, tuttavia questo non dovrebbe inficiare i risultati su $w$ e $W$ che restano normale e log-normale anche sotto dipendenza.
Eppure sul concetto di dipendenza qualcosa mi lascia perplesso. In particolare penso di poter definire $Y$ come funzione (anche) di $X$ tale per cui $Y$ resti log-normale e quindi i rispettivi logaritmi normali, da cui dipendenza tra $X$ ed $Y$ ed i rispettivi logaritmi, e vedere smentiti i risultati dichiarati su $w$ e $W$.
Evidentemente, anche limitandoci al caso normale/log-normale, esistono vari tipi di dipendenza. Suppongo di dovermi ricollegare al concetto di distribuzione congiuta gaussiana rispetto alla gaussianità delle marginali ma è solo un'idea e comunque e qui che inizio ad avere problemi.
Vi risulta qualcosa del genere ? Potreste chiarire ?
Ricapitolando abbiamo che $W$ si distribuisce log-normalmente e quindi $w = ln(W) = ln(X) - ln(Y)$ si distribuisce normalmente.
Il fatto che $X$ ed $Y$ siano indipendenti o meno, se non erro, implica la medesima condizione su $ln(X)$ e $ln(Y)$, tuttavia questo non dovrebbe inficiare i risultati su $w$ e $W$ che restano normale e log-normale anche sotto dipendenza.
Eppure sul concetto di dipendenza qualcosa mi lascia perplesso. In particolare penso di poter definire $Y$ come funzione (anche) di $X$ tale per cui $Y$ resti log-normale e quindi i rispettivi logaritmi normali, da cui dipendenza tra $X$ ed $Y$ ed i rispettivi logaritmi, e vedere smentiti i risultati dichiarati su $w$ e $W$.
Evidentemente, anche limitandoci al caso normale/log-normale, esistono vari tipi di dipendenza. Suppongo di dovermi ricollegare al concetto di distribuzione congiuta gaussiana rispetto alla gaussianità delle marginali ma è solo un'idea e comunque e qui che inizio ad avere problemi.
Vi risulta qualcosa del genere ? Potreste chiarire ?
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