Dubbio su probabilità congiunta

[gabriele812]

salve a tutti, avrei un dubbio riguardante una trasformazione sulla funzione di probabilità quando in ballo vi sono due variabili aleatorie.
vorrei riscrivere la seguente formula tenuto presente che sia Y che X sono variabili aleatorie
$ P(Y <= X) $
in questo modo

$ P(Y <= x,X=x)=P( Y<=x|X=x )P(X=x) $

è corretto questo passaggio ?

[wnvl]

"gabriele81":salve a tutti, avrei un dubbio riguardante una trasformazione sulla funzione di probabilità quando in ballo vi sono due variabili aleatorie.
vorrei riscrivere la seguente formula tenuto presente che sia Y che X sono variabili aleatorie
$ P(Y <= X) $
in questo modo

$ P(Y <= x,X=x)=P( Y<=x|X=x )P(X=x) $

è corretto questo passaggio ?

$ P(Y <= X)= int_x P(Y <= x,X=x)dx= int_xP( Y<=x|X=x )P(X=x)dx $

[gabriele812]

Ok grazie mille wnvl

[enr87]

"wnvl":

$ P(Y <= X)= int_x P(Y <= x,X=x)dx= int_xP( Y<=x|X=x )P(X=x)dx $

questa scrittura non ha senso

[wnvl]

"enr87":[quote="wnvl"]

$ P(Y <= X)= int_x P(Y <= x,X=x)dx= int_xP( Y<=x|X=x )P(X=x)dx $

questa scrittura non ha senso[/quote]

P(X=x)=probability density function

[enr87]

non puoi usare quella convenzione dei simboli: ti induce all'errore. la densità congiunta (caso continuo) si chiama $f_{XY}(x,y)$ ed è una densità per unità di area (mentre la tua è una densità lineare). inoltre $P(Y <= X) = P(Y-X<=0) = F_Z(0)$ dove F indica la funzione di distribuzione congiunta e Z = Y-X, da cui:

$P(Y<=X) = int int_{y-x<=0} f_{XY}(x,y) dx dy$

[wnvl]

Ho considerato X e Y come due variabili independenti.

Ma hai ragione che la notazione che ho usata non è chiara.

[enr87]

"wnvl":Ho considerato X e Y come due variabili independenti.

Ma hai ragione che la notazione che ho usata non è chiara.

non c'era alcuna ipotesi di indipendenza mi sembra

[wnvl]

"enr87":[quote="wnvl"]Ho considerato X e Y come due variabili independenti.

Ma hai ragione che la notazione che ho usata non è chiara.

non c'era alcuna ipotesi di indipendenza mi sembra[/quote]

No, hai ragione.