Dubbio su funzione di ripartizione e legami tra variabili aleatorie
Ciao!
Ho un dubbio su come scrivere la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria che è legata a un'altra variabile aleatoria di cui conosco la funzione di ripartizione.
Si consideri la variabile aleatoria $X$, tale che la sua funzione di ripartizione è
$F_X(x)= { ( 0 \text{ if }x\in (-infty,0) ),( 7x \text{ if }x\in [0,1/7] ),( 1 \text{ if }x\in (1/7,+infty) ):} $
Si consideri adesso la variabile aleatoria $Y$, tale che
$Y= X^3 + \pi$
Se volessi trovare la funzione di ripartizione di $Y$ sfruttando UNICAMENTE il legame esistente tra $X$ e $Y$ e nessuna proprietà di $X$, come dovrei fare?
Io, personalmente, scriverei questo:
$F_Y(y)= P(Y<=y) = P(X^3 + pi <= y) = P(X^3 <= y - pi) = P(X <= root(3)((y - pi)))$
$rArr F_Y(y)= F_X(root(3)((y - pi))) $
Il mio dubbio (forse banale) riguarda in particolare il modo in cui cambiano i diversi intervalli in cui la funzione di ripartizione assume valori diversi.
Per $x$ erano: $x \in (-infty,0) vv [0,1/7] vv (1/7, +infty) $ .
Per $F_Y(y)$ , in che modo cambiano gli intervalli?
Io scriverei
$F_Y(y)=F_X(root(3)((y - pi)))= { ( 0 \text{ if }root(3)((y - pi))\in (-infty,0) ),( 7root(3)((y - pi)) \text{ if }root(3)((y - pi))\in [0, 1/7] ),( 1 \text{ if }root(3)((y - pi))\in (\1/7,+infty) ):} $
Per scrivere gli intervalli al variare di $y$, ho semplicemente posto $root(3)((y - pi))=0$ e $root(3)((y - pi))=1$ , ottenendo:
$F_Y(y)=F_X(root(3)((y - pi)))= { ( 0 \text{ if }y\in (-infty,pi) ),( 7root(3)((y - pi)) \text{ if }y\in [pi, pi+1/343] ),( 1 \text{ if }y\in (\pi+1/343,+infty) ):} $
Secondo voi va bene? Oppure sbaglio qualcosa?
Ho un dubbio su come scrivere la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria che è legata a un'altra variabile aleatoria di cui conosco la funzione di ripartizione.
Si consideri la variabile aleatoria $X$, tale che la sua funzione di ripartizione è
$F_X(x)= { ( 0 \text{ if }x\in (-infty,0) ),( 7x \text{ if }x\in [0,1/7] ),( 1 \text{ if }x\in (1/7,+infty) ):} $
Si consideri adesso la variabile aleatoria $Y$, tale che
$Y= X^3 + \pi$
Se volessi trovare la funzione di ripartizione di $Y$ sfruttando UNICAMENTE il legame esistente tra $X$ e $Y$ e nessuna proprietà di $X$, come dovrei fare?
Io, personalmente, scriverei questo:
$F_Y(y)= P(Y<=y) = P(X^3 + pi <= y) = P(X^3 <= y - pi) = P(X <= root(3)((y - pi)))$
$rArr F_Y(y)= F_X(root(3)((y - pi))) $
Il mio dubbio (forse banale) riguarda in particolare il modo in cui cambiano i diversi intervalli in cui la funzione di ripartizione assume valori diversi.
Per $x$ erano: $x \in (-infty,0) vv [0,1/7] vv (1/7, +infty) $ .
Per $F_Y(y)$ , in che modo cambiano gli intervalli?
Io scriverei
$F_Y(y)=F_X(root(3)((y - pi)))= { ( 0 \text{ if }root(3)((y - pi))\in (-infty,0) ),( 7root(3)((y - pi)) \text{ if }root(3)((y - pi))\in [0, 1/7] ),( 1 \text{ if }root(3)((y - pi))\in (\1/7,+infty) ):} $
Per scrivere gli intervalli al variare di $y$, ho semplicemente posto $root(3)((y - pi))=0$ e $root(3)((y - pi))=1$ , ottenendo:
$F_Y(y)=F_X(root(3)((y - pi)))= { ( 0 \text{ if }y\in (-infty,pi) ),( 7root(3)((y - pi)) \text{ if }y\in [pi, pi+1/343] ),( 1 \text{ if }y\in (\pi+1/343,+infty) ):} $
Secondo voi va bene? Oppure sbaglio qualcosa?
Risposte
Ciao, io la farei così.. Premetto che sono piuttosto scarso quindi propongo una soluzione dando per scontato che sia sbagliata e con l'intento di capire dove sbaglio.
\(\displaystyle
\begin{equation*}
\rightarrow Y=X^3+\pi \rightarrow X= \sqrt[3]{Y-\pi}\\\;\\
F(y)=
\begin{cases}
0\;\;\; \text{if} \;\;\;-\infty
\end{equation*}
\)
\(\displaystyle
\begin{equation*}
\rightarrow Y=X^3+\pi \rightarrow X= \sqrt[3]{Y-\pi}\\\;\\
F(y)=
\begin{cases}
0\;\;\; \text{if} \;\;\;-\infty
\end{equation*}
\)
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