Dubbi teroema Rao-Blackwell

[stenford]

Allora data $ T(X) $ statistica sufficiente e completa per $ theta $ e $ U(X) $ stimatore non distorto ho che per il teorema di Rao-blackwell sotto altre condizioni di regolarità su $ U(X) $ ed il campione ho che :

Posto
$ phi(T(X))=E_theta[U|T] $ sarà non distorto e
$ Var(phi(T(X))<=var_theta(U)) $

Ma ciò mi assicura che data un'altra statistica sufficiente e completa $ S $

Allora

$ Var(phi(S(X))<=var_theta(U) $
Ma che relazione intercorre tra
$ Var(phi(T(X)) $ e $ Var(phi(S(X)) $ ?
Cioè sarà $ Var(phi(T(X)) [< = > ??] Var(phi(S(X))$
Cioè sostanzialmente questo passaggio viene adoperato nella dimostrazione del teorema di lehman-scheffè per l'individuazione di un minimo secondo la varianza nella classe degli stimatori non distorti , ma non capisco se data un'altra statistica sufficiente e completa che relazioni abbia con la prima, se sia uguale minore o dipenda...

nel libro(capasso morale 2013) e negli appunti presi in classe non si fa menzione

[stenford]

ok spulciando in giro ho trovato che un modo per trovare una statistica sufficiente a varianza minima è usare il criterio di lehmann scheffè a 2 fattori[dove l'ho trovato non c'era dimostrazione https://books.google.it/books?id=lTgGAAAAQBAJ&pg=PA465&lpg=PA465&dq=rao+blackwell+minimum&source=bl&ots=QykZOMrflj&sig=VJIRlkgdC9K5wKTFATIQHXFysks&hl=it&sa=X&ei=c4bYVLvbGojMyAO2rYJ4&ved=0CGAQ6AEwBw#v=onepage&q=rao%20blackwell%20minimum&f=false pag 471 es.9.66] ovvero:
Date due realizzazioni diverse dello stesso campione: $X=(x_1,...,x_n)$, $Y=(y_1,...y_n)$
$ (L(X,theta))/(L(Y,theta)) $ se da quì è possibile ricavare una funzione indipendente da $ theta $ tale che $ g(X)=g(Y) $
Allora $ g(Y) $ sarà una statistica sufficiente minimale.

Perciò con il teorema di Rao-Blackwell adoperando il valore atteso condizionato si ottiene una forma simile, può essere la strada giusta?

[stenford]

"Sergio":1) Il teorema di Rao-Blackwell prende in considerazione stimatori che siano funzioni di statistiche sufficienti, non sufficienti e complete.
2) Dal teorema segue un corollario (a volte incluso nel teorema): se uno stimatore è non distorto, lo stimatore dato dal suo valore atteso condizionato a una statistica sufficiente è uniformemente migliore. Il teorema di Rao-Blackwell, in definitiva, dice solo che conviene usare stimatori condizionati a una statistica sufficiente, serve solo a migliorare uno stimatore. Non dice nulla sul confronto di stimatori basati su diversi stimatori non distorti, in particolare non garantisce che lo stimatore "migliorato" sia ottimo.
3) Per confrontare diversi stimatori "concorrenti", serve il teorema di Lehmann-Scheffé, che in pratica dice che:
-- lo stimatore non distorto ottimo è unico;
-- un qualsiasi stimatore basato solo su una statistica sufficiente e completa è il migliore stimatore non distorto (quindi è unico).
Questo riguarda, però, il confronto tra stimatori.

Quanto a eventuali più statistiche sufficienti, si dimostra che una stastistica sufficiente e completa è anche minimale (Casella e Berger, Teorema 6.2.28). Le statistiche sufficienti minimali non sono uniche, ma sono tra loro in corrispondenza biunivoca (come la somma e la media campionarie).

Grazie mille ancora!! Si la completezza l'ho "inclusa" per il discorso dell'utilizzo del teorema di Lehmann-scheffè
Per quanto riguarda:
"-- un qualsiasi stimatore basato solo su una statistica sufficiente e completa è il migliore stimatore non distorto (quindi è unico)."
Ok riguardando meglio quel paragrafo sul libro ed ho visto che semplicemente quell'enunciato non viene dimostrato ma solo accennato, per caso sul casella-berger è presente?