Domanda di teoria: dimostrazione funzione chiquadro

[funny hill]

ciao a tutti.
Sto cercando una dimostrazione abbastanza importante ma non trovo nulla nè in rete nè sui libri.
Vorrei sapere da dove salta fuori la funzione densità di probabilità Χ2.
Ovvero come si dimostra che la somma di variabili NORMALI INDIPENDENTI Zi (con i che va da 1 a n) ha distribuzione Χ2 con n gradi di libertà.
Se non avete voglia di scrive linkate pure.
Grazie mille ciao!

[Aliseo1]

Allora, poniamo [tex]Q = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\displaystyle\frac{{X_i - \mu _i }}{{\sigma _i }}} \right)^2 }[/tex], dove [tex]Z_i = \displaystyle\left( {\frac{{X_i - \mu _i }}{{\sigma _i }}} \right)[/tex] ha distribuzione normale standardizzata. Per dimostrare che la somma di $n$ v.a. normali standardizzate si distribuisce come un [tex]\Chi^2[/tex] con $n$ g.d.l. ti consiglio di operare con la funzione generatrice dei momenti.

Precisamente, [tex]M_Q \left( t \right) = E\left[ {e^{tQ} } \right] = \ldots = \displaystyle\prod\limits_{i = 1}^n {E\left[ {e^{tZ_i^2 } } \right]}[/tex]. A questo punto ti calcoli [tex]E\left[ {e^{tQ} } \right][/tex] e il gioco è fatto

[funny hill]

Grazie per la risposta.
Scusa ma non ti seguo; la funzione generatrice dei momenti caratterizza una v.c.; qui invece ho una somma di v.c. quindi non capisco...



In alternativa non potresti consigliarmi un libro in cui venga trattata la statistica(in particolare l'argomento chi-quadro) in modo estremamente dettagliato, con tutte le dimostrazioni; io ne ho comprato uno (studio fisica) dove le dimo sono spesso tralasciate e gli argomenti trattati superficialmente

[Aliseo1]

Vediamo un po' ... come ho scritto nel post precedente la funzione generatrice dei momenti di $Q$ è data da

[tex]M_Q \left( t \right) = E\left( {e^{tQ} } \right) = E\left( {e^{t\displaystyle\sum {Z_i^2 } } } \right) = E\left( {\displaystyle\prod\limits_{i = 1}^n {e^{tZ_i^2 } } } \right) = \displaystyle\prod\limits_{i = 1}^n {E\left( {e^{tZ_i^2 } } \right)}[/tex]
Ora devi calcolare [tex]E\left( {e^{tZ_i^2 } } \right)[/tex]

[tex]E\left( {e^{tZ_i^2 } } \right) = \displaystyle\int_{ - \infty }^{ + \infty } {e^{tz^2 } \left( {\displaystyle\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}} \right)e^{ - 1/2z^2 } dz} =

= \displaystyle\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\displaystyle\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}e^{ - (1/2)\cdot\left( {1 - 2t} \right)z^2 } dz} =

= \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {1 - 2t} }}\displaystyle\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\displaystyle\frac{{\sqrt {1 - 2t} }}{{\sqrt {2\pi } }}e^{ - (1/2)\cdot\left( {1 - 2t} \right)z^2 } dz} =

= \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {1 - 2t} }} \;\;\;\; t < \displaystyle\frac{1}{2}[/tex]

Quindi [tex]\displaystyle\prod\limits_{i = 1}^n {E\left( {e^{tZ_i^2 } } \right)} = \displaystyle\prod\limits_{i = 1}^n {\displaystyle\frac{1}{{\sqrt {1 - 2t} }} = \left( {\displaystyle\frac{1}{{1 - 2t}}} \right)^{n/2} }[/tex] per [tex]t < \displaystyle\frac{1}{2}[/tex]. Ma questa cosa è? Altro non è che la funzione generatrice dei momenti di una distribuzione chi-quadro con $n$ g.f.l.

Calcolando la speranza e ricordanti di effettuare dopo la produttoria, otterrai proprio la funzione generatrice dei momenti di una distribuzione Chi-quadro con $n$ g.d.l.

[funny hill]

grazie per la disponibilità ma non riesco a capire, potresti consigliarmi un libro esaustivo?

[Aliseo1]

Secondo te una somma di v.a. è anch'essa una v.a.?

[funny hill]

se sono v.a. centrate e normalizzate allora la risposta è si (tali variabili devono essere molte, cioè tendere ad infinito, per evitare fluttuazioni che si discostano dalla gaussiana); è intuitivo.
E comuqnue matematicamente si dimostra con il T.L.C....

Che ne dici?

[Aliseo1]

Perdonami, cosa è il T.L.C.?

[funny hill]

Teorema limite centrale

[Aliseo1]

il teorema del limite centrale dice che la v.a. [tex]Z_n = \displaystyle\frac{{\overline {X}_n - \mu }}{{\sigma /\sqrt n }}[/tex]converge in distribuzione alla normale standardizzata al tendere di $n$ all'infinito. Ora però volevo capire cosa non hai capito (scusa per il gioco di parole ) della dimostrazione che ti ho scritto. Purtroppo i libri da cui ho studiato non dimostrano quanto tu chiedi, ma l'ho fatto io per te!

[funny hill]

Non sono pratico di "funzioni genratrici di momenti"(e non so dove andarmelo a studiare!!), non so cosa voglia dire $\prod_{i=1}^N $.

Tutti i passaggi della tua dimostrazione sono chiari (gli integrali) ma poi arrivato alla fine non capisco come fai a trarre quelle conclusioni!


Quindi mi mancano diversi concetti, per questo ti chiedo un libro fatto bene ma, a quanto pare non esiste...