Domanda coefficiente di correlazione $=-1$

[unit1]

Salve,
Devo scrivere se la seguente affermazione è vera o falsa dando un esempio per vero o un controesempio per falso

Il coefficiente di correlazione tra due numeri aleatori con codominio in [0,10] può essere uguale a $-1$?

Ragionamento mio:
il coefficiente è $-1$ quando valori alti di $X$ corrispondono valori bassi di $Y$, però non so come dimostrarlo..

[retrocomputer]

"unit1":
Il coefficiente di correlazione tra due numeri aleatori con codominio in [0,10] può essere uguale a $-1$?

Stavo pensando a una possibile coppia di variabili aleatorie con coefficiente di correlazione -1... Per esempio, se ho una variabile $X$ di varianza 1, allora
$Cov(X,-X)=E[-X^2]-E[X]E[-X]=-E[X^2]+E[X]^2=-Var(X)=-1$
e quindi anche il coefficiente di correlazione sarà -1.

Per rispondere "sì" alla domanda basterebbe dunque trovare una variabile $X$ con varianza 1 e codominio in [0,10]... Esisterà?

Per "codominio in [0,10]" si intende "codominio contenuto in [0,10]" o si intende "codominio uguale a [0,10]"?

[DajeForte]

Si concordo. Ed ovviamente esiste. Ad esempio una uniforme divisa per la radice della varianza. Ma poi questa normalizzazione non serve perchè nel coefficiente di correlazione viene fatta automaticamente.

[retrocomputer]

"DajeForte":Si concordo. Ed ovviamente esiste. Ad esempio una uniforme divisa per la radice della varianza. Ma poi questa normalizzazione non serve perchè nel coefficiente di correlazione viene fatta automaticamente.

E' vero, non serve normalizzare. Quindi come esempio si può tranquillamente prendere una variabile di legge uniforme (con densità che valga 1/10 su [0,10] e 0 altrove) e siamo a posto, eh?

[DajeForte]

Si basta quella.

[unit1]

credo che sia nell'intervallo $0,...,10$ compresi ma non ho le soluzioni.

Fatemi capre: devo prendere un numero aleatorio $X$ con $var(X)=1$ come per esempio $X=|3|+|4|+|5|$ che ha media $4$ e varianza $1$?

[retrocomputer]

"unit1":
Fatemi capre: devo prendere un numero aleatorio $X$ con $var(X)=1$ come per esempio $X=|3|+|4|+|5|$ che ha media $4$ e varianza $1$?

Quello che hai scritto non mi sembra tanto un numero aleatorio, comunque direi che puoi prendere una qualunque X con varianza 1 e a valori in [0,10] e sei sicuro che X e -X soddisferanno la richiesta dell'esercizio.
Abbiamo fatto l'esempio della distribuzione uniforme perché è la più semplice e guarda caso copre tutto [0,10], ma puoi sicuramente trovare anche esempi discreti.

[unit1]

"retrocomputer":

Quello che hai scritto non mi sembra tanto un numero aleatorio,

Come andrebbe scritto corretamente?

[retrocomputer]

"unit1":
Come andrebbe scritto corretamente?

Penso che basti scrivere la densità (discreta), cioè le varie $P\{X=k\}$ per ogni valore $k$ dell'immagine di $X$.