Disuguaglianza di Chebyshev

[andra_zx]

Ciao a tutti, ho un dubbio sulla disuguaglianza di chebyshev.
Data una variabile di Poisson di parametro $\lambda = 2$, fornire un limite superiore a $P(X >= 10)$ con la disugluanza di Markov e di Chebyshev.

Per quanto riguarda la disuguaglianza di Markov basta impostare $P(X >= 10) <= 2/10 = 1/5$
Invece per Chebyshev è giusto inpostare $P(|X - 2| >= 8) <= 2/64 = 1/32$ ?

Lo chiedo perchè mi pare strano che sia finito così l' esercizio..

Grazie a tutti

[cenzo1]

"andra_zx":Invece per Chebyshev è giusto inpostare $P(|X - 2| >= 8) <= 2/64 = 1/32$ ?

Mi sembra corretto, anche se evidenzierei il passaggio $P(X-2>=8)<=P(|X-2|>=8)$ prima di usare Chebyshev.
Puoi ottenere un valore più restrittivo utilizzando la [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_inequality#Variant:_One-sided_Chebyshev_inequality]disuguaglianza di Cantelli[/url], che è ad una coda (viene $1/33$).

[farmaseven]

scusate ma perche nella disuguaglianza di markov la variabile aleatoria X deve essere non negativa

[fu^2]

beh guarda la dimostrazione...

http://en.wikipedia.org/wiki/Markov%27s_inequality

[farmaseven]

perche altrimenti la funzione I non è più compresa tra 0 e X/alfa ?

[retrocomputer]

"matteo7":scusate ma perche nella disuguaglianza di markov la variabile aleatoria X deve essere non negativa

Penso che in caso contrario non potresti passare alle speranze mantenendo valida la diseguaglianza iniziale tra variabili aleatorie.

[fu^2]

o comunque se $X$ fosse negativa (per esempio $X$ che assume valori $0$, $-1$ con probabilità $1/2$ ), allora $E(X)<0$ e dunque, se Markov fosse vera si avrebbe che $0\leq \epsilon P(X>\epsilon)\leq E(X)<0$. Dunque se $X$ ha parte negativa non nulla la disuguaglianza, in generale, è falsa.

[retrocomputer]

"fu^2":o comunque se $X$ fosse negativa (per esempio $X$ che assume valori $0$, $-1$ con probabilità $1/2$ ), allora $E(X)<0$ e dunque, se Markov fosse vera si avrebbe che $0\leq \epsilon P(X>\epsilon)\leq E(X)<0$. Dunque se $X$ ha parte negativa non nulla la disuguaglianza, in generale, è falsa.

Un bel controesempio