Distribuzione di probabilità

[Flaskin]

Un arciere lancia una freccia verso un bersaglio quadrato di lato 4. Supponiamo che, in ogni lancio, tale bersaglio sia sempre raggiunto dalla freccia. L'arciere ottiene un successo se la freccia colpisce il bersaglio ad una distanza maggiore di 2 da ciascuno dei 4 vertici del quadrato. Calcolare:
(a) la probabilità che si abbia il primo successo al quinto lancio
(b) il numero medio di lanci necessari per ottenere il primo successo
(c) la probabilità di ottenere 5 successi in 7 lanci
(d) il numero medio di successi in 100 lanci
(e) la probabilità di ottenere esattamente il terzo successo al decimo lancio
(f) il numero medio di lanci necessari affinché nell'ultimo di essi si ottenga il terzo successo.


$ Aq = 16 $

$ Ac= 2pir = 4pi $

$ P(bar(A) c) = 1 - (4pi)/16 = 0,74 $

p = prob. successo
n = numero tentativi
k = numero di successi

a) $ p^k * (1-p)^(n-k) $

b) $ 1/p $

c) $ {::}_(\ \ k)^(n) text(C) * p^k * (1-p)^(n-k) $

d) $ mu = n*p $

e) $ p^k * (1-p)^(n-k) $

f) ?

Desideravo sapere se il procedimento è corretto e come devo procedere per il punto f).

Grazie

[Faussone]

La probabilità dovrebbe essere $1-(4 pi)/16$ tu mi sembra hai calcolato la probabilità che il successo del lancio non sia conseguito.

Gli altri punti mi sembrano a posto.

Per l'ultimo bisogna calcolare prima per ogni numero $n$ di lanci la probabilità di ottenere il terzo successo al lancio $n$esimo e poi calcolare la media...

[Flaskin]

Si ho fatto errori a copiare dal foglio, ora correggo.

Grazie

[Flaskin]

"Faussone":La probabilità dovrebbe essere $1-(4 pi)/16$ tu mi sembra hai calcolato la probabilità che il successo del lancio non sia conseguito.

Gli altri punti mi sembrano a posto.

Per l'ultimo bisogna calcolare prima per ogni numero $n$ di lanci la probabilità di ottenere il terzo successo al lancio $n$esimo e poi calcolare la media...

Potresti aiutarmi con la formula, così non mi è chiaro.

Grazie

[Faussone]

Comunque a essere precisi \(\displaystyle 1-\frac{4 \pi}{16} \simeq 0.275 \) non $0.74$.

Per l'ultimo punto, prova a ragionarci tu, sai calcolare quale è la probabilità di avere in $n$ tentativi il terzo successo al tentativo ennesimo? Non è difficile se hai fatto il resto, il ragionamento in fondo è simile a quello che si segue per arrivare alla distribuzione binomiale.
Basta calcolare la probabilità di ottenere due successi in n-1 tentativi e moltiplicarla per la probabilità di ottenere un successo al successivo tentativo. Poi occorre calcolare il valore medio della distribuzione ottenuta.