Distribuzione di Poisson

[superfox1]

Buonasera,
data una variabile aleat. X con distribuzione di Poisson:
[tex]P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}*\lambda^k}{k!}[/tex]
la media e varianza è \(\lambda\), ora se impongo:

[tex]\lambda = schifo * Y[/tex]

con Y una variabile aleat. qualsiasi, è vero che a la media e la varianza diventano:

[tex]E[X] = E[schifo * Y] = schifo*E[Y][/tex]
[tex]Var[X] = Var(schifo * Y) = schifo * Var(Y)[/tex]

?
ciao
- s.fox

[walter891]

non esattamente: la media è un operatore lineare ed è giusto come hai scritto tu, però la varianza è quadratica quindi diventa $Var(aY)=a^2Var(Y)$

[superfox1]

ciao walter, ma quindi rientro nel caso X = aY ? Mi trae in inganno perchè X nn mi sembra funzione lineare di Y, cioè X è di Poisson.

ciao
- s.fox

[retrocomputer]

"superfox":
[tex]\lambda = schifo * Y[/tex]

con Y una variabile aleat. qualsiasi, è vero che a la media e la varianza diventano:

[tex]E[X] = E[schifo * Y] = schifo*E[Y][/tex]

Non è che hai sbagliato a scrivere qualcosa? [tex]\lambda = schifo * Y[/tex] non mi pare che abbia molto senso...

[superfox1]

ciao retrocomputer, beh nel mio caso \lambda è il numero di elettroni visti in un certo intervallo di tempo T (cioè \(\lambda = T * Y\), Y = #elettroni al sec). Mediamente ne vedo E[Y] * T, dunque mi torna che \(E[Poisson] = T * E[Y]\), ma ho anche una varianza, diversa da E[Y], per questo mi chiedevo se varianza \(Var[Poisson] = T * Var[Y]\)

ciao
-s.fox

[retrocomputer]

"superfox":ciao retrocomputer, beh nel mio caso \lambda è il numero di elettroni visti in un certo intervallo di tempo T (cioè \(\lambda = T * Y\), Y = #elettroni al sec).

Quello che non ho capito è se questa $\lambda$ è un numero o una variabile aleatoria, perché prima è scritto come parametro di una legge di Poisson e poi come prodotto di due variabili aleatorie

[superfox1]

esatto, è il parametro della distribuzione di Poisson che è funzione di una variabile aleatoria..

Ciao
- s.fox

[superfox1]

ciao Sergio, grazie per la risposta.

Allora quasi
Partiamo dal caso base, sono alle prese con un photodetector, che ricevuto un fotone genera un elettrone.
Assumiamo che riceva r(t) fotoni al secondo, allora r(t) * T è il numero medio di elettroni osservati nell'intervallo di tempo T. La probabilità di osservare k elettroni in un intervallo di tempo T è proprio la distribuzione di Poisson con parametro \(\lambda=\lambda(t) =r(t) \cdot T\), che ha appunto media e varianza \(\lambda\).

Ora il caso corrente, il mio ricevitore non soddisfa più la relazione 1 fotone = 1 elettrone, ma per il fotone \(k\) genera \(g_k\) elettroni, dove \(g_k\) è una v.a. con \(E[g_k] = M\) ed \(E[g_k^2] = M^2F_A\).
Di nuovo in un intervallo di tempo T osserverò mediamente \(M \cdot r(t) \cdot T\) elettroni, o almeno credo . Mi chiedo
a) la probabilità di osservare k elettroni nell'intervallo di tempo T.
b) qual è la varianza di questa distribuzione?

oppure non ha senso quello che ho scritto ?

ciao
- s.fox

[superfox1]

ciao Sergio, granzie ancora per la risposta, capisco che sia faticoso ma la questione non era chiara neanche a me
\(M\), \(F_A\) sono costanti, \(g_k\) rappresenta il guadagno in termini di elettroni rispetto al k-esimo fotone.
Ragionandoci, allora gli elettroni saranno
[tex]Y = \sum_{k=1}^{r(t) \cdot T}{g_k}[/tex]
da cui
[tex]E[Y] =\sum_{k=1}^{r(t) \cdot T}{E[g_k]} = M \cdot r(t) \cdot T[/tex]
[tex]Var(Y) = \sum_{k=1}^{r(t) \cdot T}{Var[g_k]} = M^2(F_a -1) \cdot r(t) \cdot T[/tex]
una domanda: la probabilità di avere k elettroni nell'intervallo T è data dalla distribuzione di Poisson con parametro \(\lambda = E[Y]\) giusto?

Infine:

\(\lambda\) è sempre il prodotto di un numero di eventi e della loro probabilità.

ma in questo caso l'intensità è il numero medio di elettroni in tempo T ? Dove è la probabilità?

ciao
-s.fox

[superfox1]

"Sergio":[quote="superfox"]\(M\), \(F_A\) sono costanti, \(g_k\) rappresenta il guadagno in termini di elettroni rispetto al k-esimo fotone.
Ragionandoci, allora gli elettroni saranno [ecc.]

Perdonami, ma per mia ignoranza non riesco a seguirti.
Il mio "approccio" è semplice (forse troppo): hai un fenomeno che hai ragione di credere sia governato da una sua "legge"; osservi questo fenomeno con uno strumento imperfetto (come tutti gli strumenti) che aggiunge alla variabilità del fenomeno una sua propria variabilità (un errore di misura). Se quest'approccio avesse un senso nel tuo caso, allora procederei come ti dicevo. In caso contrario... alzo le mani [/quote]

E' un fenomeno di amplificazione che agisce indipendentemente fotone per fotone, cioè il k-esimo fotone produrrà \(g_k\) elettroni. Così non mi torna \(Y = X + g_?\).

"Sergio":
[quote="superfox"]una domanda: la probabilità di avere k elettroni nell'intervallo T è data dalla distribuzione di Poisson con parametro \(\lambda = E[Y]\) giusto?
Infine:

\(\lambda\) è sempre il prodotto di un numero di eventi e della loro probabilità.

ma in questo caso l'intensità è il numero medio di elettroni in tempo T ? Dove è la probabilità?

Ti propongo un esempio classico: il numero di particelle \(\alpha\) emesse da un grammo di materiale radioattivo in un secondo. Sai che in media vengono emesse \(3.2\) particelle al secondo. Puoi intendere che in un grammo di materiale radioattivo ci sono un gran numero \(n\) di atomi, ognuno dei quali ha una probabilità \(3.2/n\) di disintegrarsi e quindi emettere una particella \(\alpha\) in un secondo. In questo caso, \(\lambda=n\cdot 3.2/n=3.2\). In altri termini, se in media vengono emessi \(x\) elettroni al secondo, quell'\(x\) "incorpora" sia il numero di eventi (meglio: di prove bernoulliane, del tipo "emissione di un elettrone sì/no") che la loro probabilità.
Se poi osservi non in un secondo, ma in \(T\) secondi, allora il parametro della Poisson diventa \(\lambda=x\cdot T\), e il valore atteso e la varianza sono \(x\cdot T\).[/quote]

ahh ok!

ciao
-s.fox