Distribuzione di Cauchy! Aiuto!

[Xerte]

Buongiorno a tutti!
ho un problema riguardante questo...problema!

la variabile casuale x(k) ha una distribuzione di cauchy con densità di probabilità : (x) = 1/p*(1/(1-x^2)).
Trovare la densità di probabilità di f=x^2/(1+x^2)

questo argomento è stato affrontato veramente male in classe e questo esercizio che ho trovato in esame non saprei come farlo.
Dai miei appunti riesco solo a comprendere che nn ha varianza perchè l'integrale diverge e che le code sono molto pesanti, ma nessun indizio su come posso affrontare esercizi così

ringrazio per il vostro aiuto e la vostra pazienza

[girdav]

A me sembra che la densità sia piuttosto $g(x)=\frac1{\pi}\frac 1{1+x^2}$. Si può cominciare col calcolare $P\(\frac{X^2}{1+X^2}\leq t\)$ per un $t$ fissato.

[Xerte]

ma funziona come per la t di student o la gaussiana che ci sono delle tavole?

[retrocomputer]

No no, per fortuna l'integrale della $g(x)$ si riesce a calcolare.

Penso che basti sviluppare la disequazione che ti ha scritto girdav dentro le parentesi rotonde e ottenere una qualche espressione contenente solo la $X$ (senza i quadrati). Stai calcolando la funzione di ripartizione $F(t)$ della variabile aleatoria $f(X)$ e dovresti ottenere un qualcosa tipo

$F(t)=$
1 per $t\geq 1$
qualcosa di più o meno complicato per $0 0 per $t\leq 0$

Facci sapere cosa ti viene.

[Xerte]

integro da 0 a t l'espressione \displaystyle {P}{\left({\frac{{{{X}}^{{2}}}}{{{1}+{{X}}^{{2}}}}}\leq{t}\right)}
e imposto come \int_0^\inf \displaystyle {P}{\left({\frac{{{{X}}^{{2}}}}{{{1}+{{X}}^{{2}}}}}\leq{t}\right)} = 1 dovrebbe uscire?

[Xerte]

integro da 0 a t generico x^2/ (x^2 + 1)
e l'integrale che tende a infinito è =1 giusto? così dovrei avere la funzione di ripartizione


dunque mi esce F(t) = t - atan (t) per 0 ho sbagliato qualcosa?

[retrocomputer]

"Xerte":integro da 0 a t generico x^2/ (x^2 + 1)
e l'integrale che tende a infinito è =1 giusto? così dovrei avere la funzione di ripartizione

Penso che la avresti (ma integrando tra $-\infty$ e $t$) se quella che hai scritto fosse la densità, ma per ora non lo sappiamo...

dunque mi esce F(t) = t - atan (t) per 0 ho sbagliato qualcosa?

Se $F(t)$ non tende a $1$ per $n\to\infty$, allora sicuramente non è giusta.

[Xerte]

non capisco che legame ci sia tra la g ( o f) con la x(k).
quale devo integrare da cosa? non mi è chiaro

[Andrea2976]

E' una semplice applicazione delle formula di cambio di variabile...altrimenti in modo più "probabilistico"

$P(\frac{X^2}{1+X^2} $=P(-\sqrt{\frac{t}{1-t}}
Ora bisogna definire il dominio nella variabile $t$ e derivare!

Comunque in questo forum questo tipo di esercizi sono stati già ampliamente trattati.

[retrocomputer]

"Andrea2976":
Ora bisogna definire il dominio nella variabile $t$ e derivare!

Se non ho capito male la definizione della funzione di ripartizione, il "dominio nella variabile $t$" è già definito, e cioè $(-\infty,+\infty)$. Bisogna "solo" vedere quanto vale la $F$ nei vari punti $t$. L'integrale che hai scritto, fornisce il valore della $F$ dove $t/{1-t}$ è positivo e non su tutto $RR$.

Comunque in questo forum questo tipo di esercizi sono stati già ampliamente trattati.

Ma forse, almeno per quanto mi riguarda, un ripasso non può che giovare

Ah, una cose che mi sdubbia sempre: in questo caso si può applicare la formula del cambio di variabile?

[retrocomputer]

"Xerte":non capisco che legame ci sia tra la g ( o f) con la x(k).

$X$ è la variabile aleatoria iniziale, $g$ è la sua densità, $f(X)=X^2/{1+X^2}$ è la variabile aleatoria funzione di $X$ di cui dobbiamo calcolare la densità.

[Andrea2976]

Ciao Retro,

il dominio in $t$ lo puoi dedurre, euristicamente pensando a quali valori possa assumere la v.a. $\frac{X^2}{1+X^2}$ e dato che $X$ varia su $R$ allora avrai che $t$ varierà su (0,1). Oltretutto questo deriva dalla possibilità di invertire la trasformazione in oggetto del problema, basta considerare $P(-\sqrt{\frac{t}{1-t}} Per applicare la formula di cambio di variabile ovviamente deve considerare i due casi in cui puoi invertire la funzione $h(x)=x^2$.

Citandoti: "Ma forse, almeno per quanto mi riguarda, un ripasso non può che giovare "

Non posso far altro che essere d'accordo.

[retrocomputer]

"Andrea2976":
il dominio in $t$ lo puoi dedurre, euristicamente pensando a quali valori possa assumere la v.a. $\frac{X^2}{1+X^2}$ e dato che $X$ varia su $R$ allora avrai che $t$ varierà su (0,1). Oltretutto questo deriva dalla possibilità di invertire la trasformazione in oggetto del problema, basta considerare $P(-\sqrt{\frac{t}{1-t}}

Abbi pazienza, ma io per dominio intendo quello della funzione di ripartizione (e infatti penso che $t$ sia la variabile indipendente della suddetta, no?).
Non conoscevo frasi tipo "dominio di variabilità" "o "dominio in $t$" o "dominio nella variabile $t$", che, se non ho capito male come sempre, indicano la parte del dominio di $F$ dove questa non è costante. E' così?

[Andrea2976]

Volevo solo indicare i valori di $t$ per cui hanno senso i passaggi effetuati in relazione alla funzione $\sqrt{\frac{t}{1-t}}$.

[Xerte]

"Andrea2976":E' una semplice applicazione delle formula di cambio di variabile...altrimenti in modo più "probabilistico"

$P(\frac{X^2}{1+X^2} $=P(-\sqrt{\frac{t}{1-t}}
Ora bisogna definire il dominio nella variabile $t$ e derivare!

Comunque in questo forum questo tipo di esercizi sono stati già ampliamente trattati.

ma una funzione di ripartizione non dovrebbe esistere per ogni t? noto che in questo caso però t non deve assumere il valore 1
quindi come mi comporto nl stabilire il dominio della funzione di ripartizione?

[Xerte]

scusate mi sà che è un pochino fuori dalle mie capacità.. però ci tenevo ad andare fino in fondo per capire come funzionava la cosa
se avete pazienza vorrei finirlo

[DajeForte]

Ecco la risposta alla tua domanda

"retrocomputer":Stai calcolando la funzione di ripartizione $F(t)$ della variabile aleatoria $f(X)$ e dovresti ottenere un qualcosa tipo

$F(t)=$
1 per $t\geq 1$
qualcosa di più o meno complicato per $0 0 per $t\leq 0$

dove nel "qualcosa di più o meno complicato per $0

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[Xerte]

quella densità di probabilità di f=x^2/(1+x^2) ? chiedeva questo il problema

il dominio quindi è tutto R posso concludere, se t<=0 è 0 e t>=1 è 1
e in mezzo c'è integrale definito sostituito

domanda : ma ci sono casi in cui la F di ripartizione può non essere definita su parte del Dominio?

[retrocomputer]

"Xerte":quella densità di probabilità di f=x^2/(1+x^2) ? chiedeva questo il problema

Quella che ottieni con il procedimento ben sintetizzato da DajeForte è la funzione di ripartizione della variabile aleatoria $f(X)$. Stai attento a non confondere le cose: $f$ è una funzione, mentre $f(X)=f\circ X$ è la variabile aleatoria di cui vuoi trovare la densità.
Dopo avere trovato la funzione di ripartizione, si dovrebbe controllare che sia continua e derivabile con continuità a tratti (e vedrai che lo è) e poi si calcola la sua derivata (nei punti dove esiste) e si ottiene la tanto sospirata densità della $f\circ X$.

Forse avresti fatto prima a calcolare direttamente la densità con la formula del cambiamento di variabile, come proposto da Andrea, ma anche in quel caso devi stare attento a dividere la densità di $X$ per avere sempre un diffeomorfismo... Questo secondo metodo ha forse un po' la controindicazione che non è detta che la $f(X)$ abbia densità, mentre ha sicuramente sempre la funzione di ripartizione...
Penso che generalmente, se l'esercizio ti chiede di calcolare la densità puoi usare entrambi i metodi, mentre se ti chiede di dire se esiste la densità allora io userei il metodo della funzione di ripartizione...

il dominio quindi è tutto R posso concludere, se t<=0 è 0 e t>=1 è 1
e in mezzo c'è integrale definito sostituito

Esatto.

domanda : ma ci sono casi in cui la F di ripartizione può non essere definita su parte del Dominio?

Direi di no, visto come è definita: si tratta di una funzione definita come probabilità (definita sulla $\sigma$-algebra dei boreliani di $RR$) di un insieme boreliano di $RR$ (una semiretta).

[Xerte]

provo a finirlo allora
integrande è atan((t/(1-t))^(1/2))-atan(-(t/(1-t))^(1/2))
usando le proprietà della trigonometria : 2atan((t/(1-t))^(1/2))

derivando l'ultimaformula scritta ho : radq(-x/(x-1))/x e corrisponde alla mia densità di probabilità .. dove? questa funzione è compresa tra 0 e 1 con 2 asintoti

[retrocomputer]

"Xerte":provo a finirlo allora
integrande è atan((t/(1-t))^(1/2))-atan(-(t/(1-t))^(1/2))
usando le proprietà della trigonometria : 2atan((t/(1-t))^(1/2))

derivando l'ultimaformula scritta ho : radq(-x/(x-1))/x e corrisponde alla mia densità di probabilità .. dove? questa funzione è compresa tra 0 e 1 con 2 asintoti

Ti sei dimenticato il $\pi$, ma per il resto mi sembra che sia giusto. Quella che hai trovato è la densità per $0 Come riprova, per assicurarsi di avere fatto i conti giusti, ci si calcola l'integrale della densità su tutto $RR$ e si verifica che sia $1$:

http://tinyurl.com/c9tvfhv