Dispersione dei valori: Dev.Stnd. Vs. Misura alternativa
Ciao a tutti, mi sono imbattuto quasi per caso in un indicatore di dispersione che misura lo media quadratica degli scarti da un valore statico nominale.
Esempio: supponiamo che una macchina deva produrre una barra di metallo di lunghezza nominale pari ad $L$. Estraggo a fine processo un campione di $n$ barre per valutarne le caratteristiche di lunghezza.
Misuro:
la media: $\bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$
la deviazione standard: $(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2)^\frac{1}{2}$
ed un indicatore di dispersione rispetto ai valori nominali: $(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - L)^2)^\frac{1}{2}$
Quello che mi chiedo è:
- può avere un senso?
- mi dice qualcosa di più rispetto a quanto non mi dicano già media e scarto quadratico?
Esempio: supponiamo che una macchina deva produrre una barra di metallo di lunghezza nominale pari ad $L$. Estraggo a fine processo un campione di $n$ barre per valutarne le caratteristiche di lunghezza.
Misuro:
la media: $\bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$
la deviazione standard: $(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2)^\frac{1}{2}$
ed un indicatore di dispersione rispetto ai valori nominali: $(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - L)^2)^\frac{1}{2}$
Quello che mi chiedo è:
- può avere un senso?
- mi dice qualcosa di più rispetto a quanto non mi dicano già media e scarto quadratico?
Risposte
"ReggaetonDj":
- mi dice qualcosa di più rispetto a quanto non mi dicano già media e scarto quadratico?
Non credo.
La media aritmetica è quel valore $L=\barx$ che minimizza la somma degli scarti quadratici.
L'indicatore "media degli scarti quadratici rispetto ad L" lo puoi calcolare conoscendo la varianza, la media $\barx$ e L con la seguente relazione:
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - L)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2+(\bar x-L)^2=\sigma^2+(\bar x-L)^2$
Grazie! Molto interessante. Di fatto conoscendo media e varianza, l'indicatore alternativo è di fatto una grandezza dipendente da questi due.
Scusa la domanda banale, come è possibile dimostrare la relazione che mi hai suggerito?
Scusa la domanda banale, come è possibile dimostrare la relazione che mi hai suggerito?
"ReggaetonDj":
Scusa la domanda banale, come è possibile dimostrare la relazione che mi hai suggerito?
[tex]$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-L)}^{2}}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\bar{x}+\bar{x}-L)}^{2}}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}+\frac{2}{n}(\bar{x}-L)\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-\bar{x})}}_{0}+\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{(\bar{x}-L)}^{2}}}={{\sigma }^{2}}+{{(\bar{x}-L)}^{2}}$[/tex]
Una intepretazione "fisica" della precedente formula è il teorema di Huygens-Steiner
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Huygens-Steiner
La media aritmetica corrisponde al baricentro delle masse.
La varianza (o meglio la devianza) corrisponde al momento d'inerzia.
Perfetto, interessante l'interpretazione fisica! Grazie ancora!!
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