Dimostrazione varianza stimatore OLS $hat(beta) _(\0)$ + dubbi

[mobley]

Non riesco a trovare da nessuna parte la dimostrazione per la varianza dello stimatore OLS per $ hat(beta) _(\0) $ .
Conosco soltanto la varianza di $hat(beta) _(\1)$ che è

$ var(hat(beta) _(\1))=1/nxx (var[(x_(\i)-mu _(\x) )u_(\i)])/({::}text s(sigma_(\ \ y)^(2))^2 )=({::}textssigma_(\ \ v)^(2))/(n ({::}textssigma_(\ \ y)^(2))^2 $

Qualcuno può aiutarmi? Anche linkarmi qualche indirizzo andrebbe benissimo.
Grazie

[mobley]

Niente da fare. Ho cercato tutto ieri sera e oggi pomeriggio su internet ma invano, non trovo nulla che dimostri come derivare la varianza di $hat(beta)_(\0)$: possibile?

In ogni caso allargo la discussione e elenco tutti i miei dubbi, magari qualcuno di voi ha un'impulso di generosità e decide di aiutarmi
Come detto, arrivo a dimostrare che

$ var(hat(beta)_(\1)) =1/nxx (var[(x_(\i)-bar(x))u_(\i)])/(sigma_(\X)^2)=(sigma_(v)^2)/(n(sigma_(\X)^2)^2) $

con $ sigma_(v)^2=sum(x_(\i)-mu _(\X))u_(\i) $ e $ u_(\i)=p_(\i) $ .

Il libro dice che sotto ipotesi di omoschedasticità pura si ha che

$ var[(x_(\i)-mu_(\X))u_(\i)]=E({(x_(\i)-mu_(\X))u_(\i)-E[(x_(\i)-mu_(\X))u_(\i)]}^2) $

1° domanda: il $^2$ non dovrebbe stare fuori dal segno di parentesi tonda, dato che la formula della varianza è $E(Y-E(Y))^2$?

Prosegue come

$ E{[(x_(\i)-mu_(\X))u_(\i)]^2}$

dicendo che questo passaggio si ha per $E[(x(\-i)-mu_(\X)u_(\i)]=0$, per la prima assunzione dei minimi quadrati. Ma anche svolgendo il prodotto avrei $E(x_(\i)u_(\i))$ e non $E(u_(\i)|x_(\i))$. Dunque:
2° domanda: come è possibile?

Continua svolgendo il quadrato, e quindi il valore atteso:

$ E[(x_(\i)-mu_(\X))^2u_(\i)^2]=E(x_(\i)-mu_(\X))^2\cdotE(u_(\i)^2) $

A questo punto, da quello che ho capito, applica l'ipotesi di omoschedasticità pura secondo cui $ E(u_(\i)^2)=k=sigma_(\u)^2=var(u_(\i)|x_(\i)) $ , e quindi

$ E[(x_(\i)-mu_(\X))^2var(u_(\i)|x_(\i))]=E[(x_(\i)-mu_(\X))^2sigma_(\u)^2]=sigma_(\u)^2E[(x_(\i)-mu_(\X))^2]=sigma_(\u)^2sigma_(\X)^2 $

che sostituita nella relazione di partenza mi dà

$ var(hat(beta)_(\1)) =(sigma_(\u)^2)/(n sigma_(\X)^2) $

Ora il libro si limita a dire (cito testualmente): "un calcolo simile fornisce la 5.28", cioè

$ var(hat(beta)_(\0) )=(E(X_(\i)^2))/(nsigma_(\X)^2)sigma_(u)^2 $

3°domanda: qual è questo calcolo?

[mobley]

Qualcuno può aiutarmi per favore? L'esame è domani