Dimostrazione Poisson che approssima Normale
Vorrei fare una dimostrazione rigorosa del fatto che per $ \lambda \rightarrow \infty $ la distribuzione di Poisson riesce ad approssimare la distribuzione normale di media $\mu = \lambda $ e varianza $ \sigma^2 = \lambda $. Cioè io parto da:
$ (e^(-\lambda)\lambda^i)/(i!) $ e con qualche approssimazione vorrei ottenere $ 1/(\lambda \sqrt(2\pi)) e^(-1/(2\lambda)(i-\lambda)^2 $. Sono partito utilizzando la formula di stirling:
$ (e^(-\lambda)\lambda^i)/(i!) \rightarrow (e^(-\lambda)\lambda^i)/(e^(-i)i^(i)\sqrt(2\pi i)) \rightarrow (e^(-\lambda)\lambda^(i+1/2))/(e^(-i)i^(i)\sqrt(2\pi i)\sqrt(lambda) $ e ottengo $(e^(i-\lambda) )/(\sqrt(lambda)\sqrt(2\pi)) (\lambda/i)^(i+1/2)$. Ora non so più come continuare. Qualche idea? Magari si può provare ad utilizzare un limite notevole oppure sto combattendo una causa persa e questa approssimazione vale solo teoricamente e dei calcoli espliciti non esistono?
$ (e^(-\lambda)\lambda^i)/(i!) $ e con qualche approssimazione vorrei ottenere $ 1/(\lambda \sqrt(2\pi)) e^(-1/(2\lambda)(i-\lambda)^2 $. Sono partito utilizzando la formula di stirling:
$ (e^(-\lambda)\lambda^i)/(i!) \rightarrow (e^(-\lambda)\lambda^i)/(e^(-i)i^(i)\sqrt(2\pi i)) \rightarrow (e^(-\lambda)\lambda^(i+1/2))/(e^(-i)i^(i)\sqrt(2\pi i)\sqrt(lambda) $ e ottengo $(e^(i-\lambda) )/(\sqrt(lambda)\sqrt(2\pi)) (\lambda/i)^(i+1/2)$. Ora non so più come continuare. Qualche idea? Magari si può provare ad utilizzare un limite notevole oppure sto combattendo una causa persa e questa approssimazione vale solo teoricamente e dei calcoli espliciti non esistono?
Risposte
La dimostrazione è quella del TLC e passa attraverso la funzione generatrice dei momenti
Allora sono io che non ho capito niente 
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Teoremi ... del_limite
Qua ho visto i calcoli per approssimare una binomiale ad una normale e non penso che vengano chiesti ad un'orale di probabilità. Hai mai letto il libro di statistica Casella-Berger? alla fine di quel libro c'è un'utile tabella con tante distribuzioni tutte collegate tra loro con le eventuali trasformazioni e casi speciali. I calcoli per approssimare una distribuzione beta ad una normale devono essere molto ostici
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Teoremi ... del_limite Qua ho visto i calcoli per approssimare una binomiale ad una normale e non penso che vengano chiesti ad un'orale di probabilità. Hai mai letto il libro di statistica Casella-Berger? alla fine di quel libro c'è un'utile tabella con tante distribuzioni tutte collegate tra loro con le eventuali trasformazioni e casi speciali. I calcoli per approssimare una distribuzione beta ad una normale devono essere molto ostici
che è esattamente ciò che ti ho detto io...solo che la dimostrazione che hai postato tu è fatta con la funzione caratteristica $E[e^(itx)]$ invece che con la fgm $E[e^(tx)]$. Quello che hai postato tu è un caso più generale.
Un esempio di dimostrazione con la fgm è Questa
Ricorda che la Poisson gode della proprietà riproduttiva, poni $lambda=n mu=nsigma^2$ ed hai finito.
Un esempio di dimostrazione con la fgm è Questa
Ricorda che la Poisson gode della proprietà riproduttiva, poni $lambda=n mu=nsigma^2$ ed hai finito.
Va bene il teorema e tutto il resto, però io volevo approssimare Poisson con la normale utilizzano calcoli diretti!! Ho seguito gli stessi calcoli che ci sono nel link che ti ho per mostrato nel mio ultimo messaggio: wikipedia fa delle approssimazioni e arriva a dire che $(n!)/(k!(n-k)!)p^k(1-p)^{n-k} \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi np(1-p)}}e^{-(k-np)^2/{2np(1-p)}} $
Ero arrivato a:
$ e^(i-\lambda)/(\sqrt(2\pi\lambda)) (\lambda/i)^(i+1/2) $ Ora continuo così: $ e^(i-\lambda)/(\sqrt(2\pi\lambda)) (i/\lambda)^(-(i+1/2))$ e come wikipedia pongo $x=(i-\lambda)/\sqrt(lambda) $ cioè $x/\sqrt(\lambda) +1 =i/\lambda $
quindi ho che $ e^(i-\lambda)=e^(x\sqrt(\lambda))$. Ora ragiono su $(i/\lambda)^(-(i+1/2)) $. Sempre come wikipedia, mi riscrivo: $ e^(ln((i/\lambda)^(-(i+1/2))))$ e mi soffermo sull'esponente $ -(i+1/2)ln(i/\lambda)=-(i+1/2)ln(1+x/\sqrt(\lambda)) $
Utilizzando Taylor $\ln(1+y)=y-\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}-\frac{y^4}{4}+\cdots $ arrivo ad approssimare
$ -(\sqrt(\lambda)x + \lambda +1/2)ln(1+x/\sqrt(\lambda))=-(\sqrt(\lambda)x + \lambda +1/2)(x/\sqrt(\lambda)-(x^2)/(2\lambda)+(x^3)/(3\lambda^(3/2)) -(x^4)/(4\lambda^2)+ ... ) $ e moltiplicando i termini mi accorgo che i termini avente $\lambda$ al denominatore possono essere trascurati dato che tendono a zero per $\lambda $ molto grande e i termini "interessanti" rimanenti sono $-(x^2)/2-\sqrt(\lambda)x$
Quindi ho approssimato $e^(ln((i/\lambda)^(-(i+1/2)))) \approx e^(-(x^2)/2-\sqrt(\lambda)x)$
Ora mi basta moltiplicare e sostituire la $ x $ rimanente per ritrovare la conclusione:
$e^(-(x^2)/2-\sqrt(\lambda)x)e^(x\sqrt(\lambda))/(\sqrt(2\pi\lambda) $ cioè: $ e^(-(i-\lambda)^2/(2\lambda))/(\sqrt(2\pi\lambda)$
Pensi che possa andare bene pure così???
Ero arrivato a:
$ e^(i-\lambda)/(\sqrt(2\pi\lambda)) (\lambda/i)^(i+1/2) $ Ora continuo così: $ e^(i-\lambda)/(\sqrt(2\pi\lambda)) (i/\lambda)^(-(i+1/2))$ e come wikipedia pongo $x=(i-\lambda)/\sqrt(lambda) $ cioè $x/\sqrt(\lambda) +1 =i/\lambda $
quindi ho che $ e^(i-\lambda)=e^(x\sqrt(\lambda))$. Ora ragiono su $(i/\lambda)^(-(i+1/2)) $. Sempre come wikipedia, mi riscrivo: $ e^(ln((i/\lambda)^(-(i+1/2))))$ e mi soffermo sull'esponente $ -(i+1/2)ln(i/\lambda)=-(i+1/2)ln(1+x/\sqrt(\lambda)) $
Utilizzando Taylor $\ln(1+y)=y-\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}-\frac{y^4}{4}+\cdots $ arrivo ad approssimare
$ -(\sqrt(\lambda)x + \lambda +1/2)ln(1+x/\sqrt(\lambda))=-(\sqrt(\lambda)x + \lambda +1/2)(x/\sqrt(\lambda)-(x^2)/(2\lambda)+(x^3)/(3\lambda^(3/2)) -(x^4)/(4\lambda^2)+ ... ) $ e moltiplicando i termini mi accorgo che i termini avente $\lambda$ al denominatore possono essere trascurati dato che tendono a zero per $\lambda $ molto grande e i termini "interessanti" rimanenti sono $-(x^2)/2-\sqrt(\lambda)x$
Quindi ho approssimato $e^(ln((i/\lambda)^(-(i+1/2)))) \approx e^(-(x^2)/2-\sqrt(\lambda)x)$
Ora mi basta moltiplicare e sostituire la $ x $ rimanente per ritrovare la conclusione:
$e^(-(x^2)/2-\sqrt(\lambda)x)e^(x\sqrt(\lambda))/(\sqrt(2\pi\lambda) $ cioè: $ e^(-(i-\lambda)^2/(2\lambda))/(\sqrt(2\pi\lambda)$
Pensi che possa andare bene pure così???
Sì penso vada bene anche così, ma non vedo grosse differenze. Una dimostrazione è direttamente sulla densità, l'altra è sulla FGM.
L'unica differenza è che la dimostrazione con la FGM mi sembra più snella (e volendo puoi dimostrare la tua tesi senza nemmeno farla perché puoi dire: "rimando alla dimostrazione del TLC").
Tanto esiste un teorema che afferma che:
Siano X,Y due va con rispettivamente $F_(X)(x)$ , $M_(X)(t)$ e $F_(Y)(y)$ , $M_(Y)(t)$
Allora
$F_(X)(x)-=F_(Y)(y)hArr M_(X)(t)-=M_(Y)(t)$
Inoltre, se X ammette fgm $M_(X)(t)$ allora la $M_(X)(t)$ è sviluppabile in serie di McLaurin
$M_(X)(t)=sum_(n=0)^(oo)M_(X)^(n^a)(0)t^n/(n !)$
e dove
$M_(X)^(n^a)(0)=d^n/(dt^n)M_(X)(t)]_(t=0)=E[X^n]$
....quindi secondo me il tuo procedimento (piuttosto artigianale ma completo) è fin troppo analitico...ma ovviamente fai come ti trovi meglio
L'unica differenza è che la dimostrazione con la FGM mi sembra più snella (e volendo puoi dimostrare la tua tesi senza nemmeno farla perché puoi dire: "rimando alla dimostrazione del TLC").
Tanto esiste un teorema che afferma che:
Siano X,Y due va con rispettivamente $F_(X)(x)$ , $M_(X)(t)$ e $F_(Y)(y)$ , $M_(Y)(t)$
Allora
$F_(X)(x)-=F_(Y)(y)hArr M_(X)(t)-=M_(Y)(t)$
Inoltre, se X ammette fgm $M_(X)(t)$ allora la $M_(X)(t)$ è sviluppabile in serie di McLaurin
$M_(X)(t)=sum_(n=0)^(oo)M_(X)^(n^a)(0)t^n/(n !)$
e dove
$M_(X)^(n^a)(0)=d^n/(dt^n)M_(X)(t)]_(t=0)=E[X^n]$
....quindi secondo me il tuo procedimento (piuttosto artigianale ma completo) è fin troppo analitico...ma ovviamente fai come ti trovi meglio
Ti ringrazio per stare appresso a questi svarioni analitici, mi piace troppo il calcolo matematico puro.
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