Dimostrazione momento centrale del secondo ordine

[meemowsh]

Buonasera,
Vorrei dimostrare che il momento campionario centrale del secondo ordine centrale è:
uno stimatore della varianza non polarizzato se la media è nota, polarizzato se la media non è nota.
Ho provato a impostare il problema, so che il momento centrale del secondo ordine è:
$M=(Sigma (x_i-mu )^k)/n$
Per verificare che sia uno stimatore non polarizzato devo verificare che il suo valore atteso è esattamente $sigma ^2$
Solitamente ho la distribuzione di x e quindi calcolo semplicemente se l'uguaglianza è verificata o meno andando poi a sostituire l'espressione del valor medio di quella distribuzione.
Ma come faccio a farlo "in generale"?

[Lo_zio_Tom]

Prima di tutto il momento centrale del secondo ordine è questo (quello che hai scritto tu è il k-esimo, non il secondo)

$1/n sum_i (X_i-mu )^2$

Se la media è nota la dimostrazione è anche inutile perché scende proprio dalla definizione di varianza. Comunque sia basta fare così

$1/n E (sum_i X_i^2- 2n mu^2+n mu^2)=$

$=1/n E (sum_i X_i^2-nmu^2)=sigma^2+mu^2-mu^2=sigma^2 $

Se la media è ignota la sostituisci con $bar (x) $ e fai i conti. Se devi solo dimostrare che è distorta basta ricordare che

$sum_i (X_i-mu)^2=sum_i (X_i -bar (x))^2+n (bar (x)-mu)^2$

e la dimostrazione è finita. Se invece vuoi calcolare quanto è distorta allora dividi per n, fai il valore atteso e trovi subito

$E (1/n sum_i (X_i- bar (x))^2)=sigma^2- V (bar (x))=sigma ^2-sigma^2/n=(n-1)/n sigma^2$

Fine



Ciao

[meemowsh]

Non ho capito cosa hai fatto in questo passaggio:

"tommik":
Se la media è ignota la sostituisci con $bar (x) $ e fai i conti. Se devi solo dimostrare che è distorta basta ricordare che

$sum_i (X_i-mu)^2=sum_i (X_i -bar (x))^2+n (bar (x)-mu)^2$

In realtà non ho ben capito neanche l'ultimo passaggio del primo caso, cioè potresti gentilmente specificarmi i vari contributi dell'espressione precedente da cui alla fine deriva $ sigma^2 + mu^2 - mu^2 $?

[Lo_zio_Tom]

beh però ci devi mettere anche un po' di impegno....sono tutti calcoli molto semplici, altrimenti te li avrei spiegati

$E[1/n sum_i (X_i-mu)^2]=1/n E[sum_i (X_i^2-2muX_i+mu^2)]=1/n E[sum_i X_i^2-2musum_i X_i+nmu^2]=$

$=1/n E[sum_i X_i^2-2munmu+nmu^2]=1/n[E(sum_i X_i^2)-nmu^2]=1/n nE[X^2]-1/n n mu^2= sigma^2+mu^2-mu^2=sigma^2$

dato che, come sapari, $sigma^2=E[X^2]-mu^2 rarr E[X^2]=sigma^2+mu^2$

Per l'altra utilissima relazione basta partire da qui

$sum_i(X_i-mu)^2=sum_i(X_i- bar(X)+bar(X)-mu)^2$ e svolgere i conti.

.....mi hai chiesto le cose più banali mentre i passaggi "più fini" che vengono dopo no.....

mah.....fammi sapere se ora è chiaro

[meemowsh]

Si scusami in effetti nel primo caso avevo fatto io un errore banale e non mi tornavano i conti.
Per vedere quanto è distorta invece mi conviene trattare la sommatoria come hai fatto sopra prima di fare il valore atteso?
Grazie

[Lo_zio_Tom]

secondo me come ho impostato io la dimostrazione è più immediato....poi ci sono diverse strade e (sempre secondo la mia modesta opinione) è importante che ognuno trovi la propria in queste dimostrazioni.

[Lo_zio_Tom]

Comunque questo è il mio ragionamento: Dalla relazione che ti ho evidenziato, dividendo per n, trovi

$1/n sum_i (X_i-bar(X))^2=1/n sum_i (X_i-mu)^2-(bar(X)-mu)^2$

se faccio subito il valore atteso mi accorgo che il primo termine del secondo membro è $sigma^2$ (calcolato alla domanda precedente) e quindi ottengo

$ E[(sum_i (X_i-bar(X))^2)/n]=sigma^2-E[bar(X)-mu]^2$

ma mi accorgo anche che il secondo addendo al secondo membro è la definizione di varianza della media campionaria, ovvero $V(bar(X))=sigma^2/n$

e dunque finisco la dimostrazione senza fare alcun conto....

ora vorrei vedere le tue idee in proposito

ciao

[meemowsh]

Ho svolto esattamente gli stessi passaggi che hai appena scritto dopo aver capito come ricavare questo:

"tommik":
$sum_i (X_i-mu)^2=sum_i (X_i -bar (x))^2+n (bar (x)-mu)^2$

Il mio problema era appunto che non sapevo come risolvere questa sommatoria, ma adesso è tutto chiaro grazie ancora.