Dimostrazione formula inclusione-esclusione
Devo dimostrare che dati n eventi $A_1...A_n$ si ha $P(A_1uu...uuA_n)=\sum_{k=1}^n (-1)^(k+1)* \sum_{Jsube{1,...,n},|J|=k} nn_{i in J} A_i$.
La faccio per induzione, arrivando al passo induttivo con:
1)$P(A_1uu...uuA_nuuA_(n+1))=P(A_1uu...uuA_n)+P(A_(n+1))-P((A_1nnA_(n+1))uu...uu(A_nnnA_(n+1)))$.
2)$P(A_1uu...uuA_n)=\sum_{k=1}^n (-1)^(k+1)* \sum_{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1notinJ} nn_{i in J} A_i$.
3)$P((A_1nnA_(n+1))uu...uu(A_nnnA_(n+1)))=\sum_{k=2}^(n+1) (-1)^(k+1)* \sum_{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1inJ} nn_{i in J} A_i$.
Ora devo sostituire 2) e 3) in 1) per ottenere la tesi che dovevo dimostrare ma questo passaggio non riesco a farlo...mi date una mano?
La faccio per induzione, arrivando al passo induttivo con:
1)$P(A_1uu...uuA_nuuA_(n+1))=P(A_1uu...uuA_n)+P(A_(n+1))-P((A_1nnA_(n+1))uu...uu(A_nnnA_(n+1)))$.
2)$P(A_1uu...uuA_n)=\sum_{k=1}^n (-1)^(k+1)* \sum_{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1notinJ} nn_{i in J} A_i$.
3)$P((A_1nnA_(n+1))uu...uu(A_nnnA_(n+1)))=\sum_{k=2}^(n+1) (-1)^(k+1)* \sum_{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1inJ} nn_{i in J} A_i$.
Ora devo sostituire 2) e 3) in 1) per ottenere la tesi che dovevo dimostrare ma questo passaggio non riesco a farlo...mi date una mano?
Risposte
Riporto per completezza la spiegazione chiara del principio, di cui ancora non capisco la fine della dimostrazione: http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_inclusione_ed_esclusione.
ho fatto un tentativo, ma ho modificato qualcosa che credo andasse corretto: ricontrolla.
$P(A_1uu...uuA_n)=P(A_1)+...+P(A_n)+\sum_{k=2}^n (-1)^(k+1)*" " \sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1notinJ}} nnn_{i in J} A_i$.
$P(A_1uu...uuA_n uuA_(n+1))=P(A_1uu...uuA_n)+P(A_(n+1))-P((A_1nnA_(n+1))uu...uu(A_n nnA_(n+1)))=$
$=P(A_1)+...+P(A_n)+P(A_(n+1))+$
$+(\sum_{k=2}^n (-1)^(k+1)*" " \sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1notinJ}}" "P(nnn_{i in J} A_i))-(\sum_{k=2}^(n) (-1)^(k)*" "\sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1inJ}}" "P(nnn_{i in J} A_i))-$
$-((-1)^(n+1)*P(A_1nn...nnA_(n+1)))=$
$=P(A_1)+...+P(A_n)+P(A_(n+1))+$
$+(\sum_{k=2}^n (-1)^(k+1)*" " \sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1notinJ}}" "P(nnn_{i in J} A_i))+(\sum_{k=2}^(n) (-1)^(k+1)*" "\sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1inJ}}" "P(nnn_{i in J} A_i))+$
$+((-1)^(n+2)*P(A_1nn...nnA_(n+1)))=$
$=P(A_1)+...+P(A_n)+P(A_(n+1))+(\sum_{k=2}^n (-1)^(k+1)*" " \sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k}}" "P(nnn_{i in J} A_i))+((-1)^(n+2)*P(A_1nn...nnA_(n+1)))=$
$=\sum_{k=1}^(n+1) (-1)^(k+1)*" " \sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k}}" "P(nnn_{i in J} A_i)$
siccome è pesantissimo come notazioni, lo mando lo stesso, anche se va ancora ricontrollato. vedi se può andare.
fammi sapere se è chiaro. ciao.
"thedarkhero":
Devo dimostrare che dati n eventi $A_1...A_n$ si ha $P(A_1uu...uuA_n)=\sum_{k=1}^n (-1)^(k+1)* " "\sum_{{Jsube{1,...,n},|J|=k}} " " P(nnn_{i in J} A_i)$.
La faccio per induzione, arrivando al passo induttivo con:
1)$P(A_1uu...uuA_n uuA_(n+1))=P(A_1uu...uuA_n)+P(A_(n+1))-P((A_1nnA_(n+1))uu...uu(A_n nnA_(n+1)))$.
2)$P(A_1uu...uuA_n)=\sum_{k=1}^n (-1)^(k+1)*" " \sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1notinJ}} P(nnn_{i in J} A_i)$.
3)$P((A_1nnA_(n+1))uu...uu(A_n nnA_(n+1)))=\sum_{k=2}^(n+1) (-1)^(k)*" "\sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1inJ}}" "P(nnn_{i in J} A_i)$.
Ora devo sostituire 2) e 3) in 1) per ottenere la tesi che dovevo dimostrare ma questo passaggio non riesco a farlo...mi date una mano?
$P(A_1uu...uuA_n)=P(A_1)+...+P(A_n)+\sum_{k=2}^n (-1)^(k+1)*" " \sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1notinJ}} nnn_{i in J} A_i$.
$P(A_1uu...uuA_n uuA_(n+1))=P(A_1uu...uuA_n)+P(A_(n+1))-P((A_1nnA_(n+1))uu...uu(A_n nnA_(n+1)))=$
$=P(A_1)+...+P(A_n)+P(A_(n+1))+$
$+(\sum_{k=2}^n (-1)^(k+1)*" " \sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1notinJ}}" "P(nnn_{i in J} A_i))-(\sum_{k=2}^(n) (-1)^(k)*" "\sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1inJ}}" "P(nnn_{i in J} A_i))-$
$-((-1)^(n+1)*P(A_1nn...nnA_(n+1)))=$
$=P(A_1)+...+P(A_n)+P(A_(n+1))+$
$+(\sum_{k=2}^n (-1)^(k+1)*" " \sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1notinJ}}" "P(nnn_{i in J} A_i))+(\sum_{k=2}^(n) (-1)^(k+1)*" "\sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1inJ}}" "P(nnn_{i in J} A_i))+$
$+((-1)^(n+2)*P(A_1nn...nnA_(n+1)))=$
$=P(A_1)+...+P(A_n)+P(A_(n+1))+(\sum_{k=2}^n (-1)^(k+1)*" " \sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k}}" "P(nnn_{i in J} A_i))+((-1)^(n+2)*P(A_1nn...nnA_(n+1)))=$
$=\sum_{k=1}^(n+1) (-1)^(k+1)*" " \sum_{{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k}}" "P(nnn_{i in J} A_i)$
siccome è pesantissimo come notazioni, lo mando lo stesso, anche se va ancora ricontrollato. vedi se può andare.
fammi sapere se è chiaro. ciao.
Non avevo pensato a scrivere la sommatoria da 1 a n+1 come $P(A_1)+...+P(A_n)$ + la sommatoria da 2 a n+1.
Grazie mille!
Tutto chiaro!
Grazie mille!
Tutto chiaro!
prego!
Ciao, scusate la riesumazione del post ma ci sono felicemente inciampato cercando info su come dimostrare la formula in oggetto, solo che non mi è chiara questa notazione :
${{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1notinJ}}$
Vista sotto ai simboli di sommatoria, cosa sta a indicare precisamente?
Grazie
${{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1notinJ}}$
Vista sotto ai simboli di sommatoria, cosa sta a indicare precisamente?
Grazie
"lucabro":
Ciao, scusate la riesumazione del post ma ci sono felicemente inciampato cercando info su come dimostrare la formula in oggetto, solo che non mi è chiara questa notazione :
${{Jsube{1,...,n,n+1},|J|=k,n+1notinJ}}$
Vista sotto ai simboli di sommatoria, cosa sta a indicare precisamente?
Grazie
non me la ricordavo più....
Provo a dirti che cosa dovrebbe significare, in base a come sono abituata a scrivere io:
$J$ è (varia tra gli insiemi) un sottoinsieme di ${1,...,n}$ avente $k$ elementi.
Probabilmente ho complicato le notazioni solo per mettere in evidenza il fatto che si lavorava con ${1,...,n,n+1}$, ma l'elemento $n+1$ non doveva appartenere a $J$.
Non so se thedarkhero ricorda di più.
ah ok credo di aver capito allora, grazie
prego.
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