Dimostrazione della Formula del Binomio di Newton
Ciao. Non sono sicura che questa sia la sezione giusta in cui postare la questione (spero nella benevolenza degli admin... 
Ho un "piccolo" problema.
Ho iniziato le lezioni di CalcoloI martedì ma il prof spiega a velocità supersonica...tornata a casa ho iniziato a studiare la lezione (dimostrazione della formula del binomio di Newton ed interpretazione combinatorica...da cui ho scelto la sezione del forum =)) ma non capisco se mi sono persa dei pezzi, se ho sbagliato a scrivere (o se proprio non è alla mia portata).
Voi conoscete un libro in cui possa trovare tale dimostrazione? Così almeno controllo dov'è il problema della mia, dove ho sbagliato, oppure delle spiegazioni sui passaggi che non capisco.
Nota: sulle dispense la dimostrazione non c'è, sui libri nemmeno.
(Altrimenti potrei postare la mia dimostrazione fino al disastro, ma non vorrei abusare della vostra pazienza...)
Ho un "piccolo" problema.
Ho iniziato le lezioni di CalcoloI martedì ma il prof spiega a velocità supersonica...tornata a casa ho iniziato a studiare la lezione (dimostrazione della formula del binomio di Newton ed interpretazione combinatorica...da cui ho scelto la sezione del forum =)) ma non capisco se mi sono persa dei pezzi, se ho sbagliato a scrivere (o se proprio non è alla mia portata).
Voi conoscete un libro in cui possa trovare tale dimostrazione? Così almeno controllo dov'è il problema della mia, dove ho sbagliato, oppure delle spiegazioni sui passaggi che non capisco.
Nota: sulle dispense la dimostrazione non c'è, sui libri nemmeno.
(Altrimenti potrei postare la mia dimostrazione fino al disastro, ma non vorrei abusare della vostra pazienza...)
Risposte
Prova a postare la tua, così possiamo vederla 
In ogni caso avete fatto una dimostrazione algebrica (induzione) o di pure combinatoria? Ricordo a noi lo fece vedere in entrambi i modi...
In ogni caso avete fatto una dimostrazione algebrica (induzione) o di pure combinatoria? Ricordo a noi lo fece vedere in entrambi i modi...
algebrica.
Ora devo uscire...stasera la posto.
Grazie mille!
a dopo
Ora devo uscire...stasera la posto.
Grazie mille!
a dopo
Eccomi di nuovo qui! Allora, come già anticipato si tratta di una dimostrazione per induzione.
1) $(a+b)^1 = \sum_{k=0}^1((1),(k)) a^(1-k) b^k= a+b$ verificato.
2) Ip di Induz: la formula vale per (n+1), cioè dimostro che
$\sum_{k=0}^(n+1)((n+1),(k)) a^(n+1-k) b^k= (a+b)^(n+1)$
scrivo: $(a+b)^(n+1) = (a+b)^n (a+b)=$
Per ipotesi di induzione si ha: $(a+b)^n=\sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n-k) b^k$, quindi sostituisco:
$=(a+b) \sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n-k) b^k = \sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n+1-k) b^k + \sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n-k) b^(k+1)=$
Fin qui tutto bene.
Poi iniziano i problemi. (Tenete presente, che, come dicevo, il prof parla e scrive a velocità supersonica...ergo, mentre copiavo la dimostrazione, cercando di seguirla senza impazzire, potrei aver perso qualche dichiarazione in merito).
Poi ne miei appunti segue una parentesi sul cambio di indici, che è a posto.
Nel passaggio seguente, ho scritto che è necessario cambiare gli indici (ma non ho capito il perchè), poi prima di effettuare la sostituzione che dopo scriverò, le k si sono trasformate in h.
Io scrivo ciò che ho copiato, ma da qui in poi potrebbero esserci errori...
Ho posto:
$h=k+1$ perciò $k=h-1)$ e $n-k=n+1-h$
$ \sum_{h=0}^(n)((n),(h)) a^(n+1-h) b^h + \sum_{}^()((n),(h-1)) a^(n+1-h) b^(h)=$
Osservazione: perdonatemi, ma la sommatoria che ho scritto è totalmente priva di indici o pedici...scusate, mi saranno rimasti nella penna, a causa della frettta (se ci capite qualcosa e riuscite a dirmeli voi....purtroppo non ho mai usato le sommatorie prima, quindi faccio un po' fatica a maneggiarle per ora, e non riesco a ricavare ciò che manca)
$\sum_{h=1}^(n)((n),(0)) a^(n+1) b^0 + \sum_{h=1}^(n)((n),(h)) a^(n+1-h) b^(h)+\sum_{h=1}^(n)((n),(h-1)) a^(n+1-h) +\sum_{h=1}^(n)((n),(n)) a^(0) b^(n+1) =$
Da qui in poi è un delirio ancora peggio. Io sto impazzendo, se dopo la seconda lezione sto già messa così, non oso pensare tra un po'...forse ho sbagliato facoltà.
(Tra parentesi: la parte precedente, l'ho dovuta tradurre, ricercando passaggi intermedi eccetera, per non parlare della prima lezione che ho riscritto da capo a piedi...)
1) $(a+b)^1 = \sum_{k=0}^1((1),(k)) a^(1-k) b^k= a+b$ verificato.
2) Ip di Induz: la formula vale per (n+1), cioè dimostro che
$\sum_{k=0}^(n+1)((n+1),(k)) a^(n+1-k) b^k= (a+b)^(n+1)$
scrivo: $(a+b)^(n+1) = (a+b)^n (a+b)=$
Per ipotesi di induzione si ha: $(a+b)^n=\sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n-k) b^k$, quindi sostituisco:
$=(a+b) \sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n-k) b^k = \sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n+1-k) b^k + \sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n-k) b^(k+1)=$
Fin qui tutto bene.
Poi iniziano i problemi. (Tenete presente, che, come dicevo, il prof parla e scrive a velocità supersonica...ergo, mentre copiavo la dimostrazione, cercando di seguirla senza impazzire, potrei aver perso qualche dichiarazione in merito).
Poi ne miei appunti segue una parentesi sul cambio di indici, che è a posto.
Nel passaggio seguente, ho scritto che è necessario cambiare gli indici (ma non ho capito il perchè), poi prima di effettuare la sostituzione che dopo scriverò, le k si sono trasformate in h.
Io scrivo ciò che ho copiato, ma da qui in poi potrebbero esserci errori...
Ho posto:
$h=k+1$ perciò $k=h-1)$ e $n-k=n+1-h$
$ \sum_{h=0}^(n)((n),(h)) a^(n+1-h) b^h + \sum_{}^()((n),(h-1)) a^(n+1-h) b^(h)=$
Osservazione: perdonatemi, ma la sommatoria che ho scritto è totalmente priva di indici o pedici...scusate, mi saranno rimasti nella penna, a causa della frettta (se ci capite qualcosa e riuscite a dirmeli voi....purtroppo non ho mai usato le sommatorie prima, quindi faccio un po' fatica a maneggiarle per ora, e non riesco a ricavare ciò che manca)
$\sum_{h=1}^(n)((n),(0)) a^(n+1) b^0 + \sum_{h=1}^(n)((n),(h)) a^(n+1-h) b^(h)+\sum_{h=1}^(n)((n),(h-1)) a^(n+1-h) +\sum_{h=1}^(n)((n),(n)) a^(0) b^(n+1) =$
Da qui in poi è un delirio ancora peggio. Io sto impazzendo, se dopo la seconda lezione sto già messa così, non oso pensare tra un po'...forse ho sbagliato facoltà.
(Tra parentesi: la parte precedente, l'ho dovuta tradurre, ricercando passaggi intermedi eccetera, per non parlare della prima lezione che ho riscritto da capo a piedi...)
"lewis":
Eccomi di nuovo qui! Allora, come già anticipato si tratta di una dimostrazione per induzione.
1) $(a+b)^1 = \sum_{k=0}^1((1),(k)) a^(1-k) b^k= a+b$ verificato.
2) Ip di Induz: la formula vale per (n+1), cioè dimostro che
$\sum_{k=0}^(n+1)((n+1),(k)) a^(n+1-k) b^k= (a+b)^(n+1)$
scrivo: $(a+b)^(n+1) = (a+b)^n (a+b)=$
Per ipotesi di induzione si ha: $(a+b)^n=\sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n-k) b^k$, quindi sostituisco:
$=(a+b) \sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n-k) b^k = \sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n+1-k) b^k + \sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n-k) b^(k+1)=$
Fin qui tutto bene.
Poi iniziano i problemi. (Tenete presente, che, come dicevo, il prof parla e scrive a velocità supersonica...ergo, mentre copiavo la dimostrazione, cercando di seguirla senza impazzire, potrei aver perso qualche dichiarazione in merito).
Poi ne miei appunti segue una parentesi sul cambio di indici, che è a posto.
Nel passaggio seguente, ho scritto che è necessario cambiare gli indici (ma non ho capito il perchè), poi prima di effettuare la sostituzione che dopo scriverò, le k si sono trasformate in h.
Io scrivo ciò che ho copiato, ma da qui in poi potrebbero esserci errori...
Ho posto:
$h=k+1$ perciò $k=h-1)$ e $n-k=n+1-h$
$ \sum_{h=0}^(n)((n),(h)) a^(n+1-h) b^h + \sum_{h=1}^(n+1)((n),(h-1)) a^(n+1-h) b^(h)=$
Osservazione: perdonatemi, ma la sommatoria che ho scritto è totalmente priva di indici o pedici...
[ho provato io ad inserirli: così dovrebbe essere equivalente alla somma precedente]
scusate, mi saranno rimasti nella penna, a causa della frettta (se ci capite qualcosa e riuscite a dirmeli voi....purtroppo non ho mai usato le sommatorie prima, quindi faccio un po' fatica a maneggiarle per ora, e non riesco a ricavare ciò che manca)
[poi dovrebbe aver isolato il primo e l'ultimo termine, provo a correggere]
$((n),(0)) a^(n+1) b^0 + \sum_{h=1}^(n)((n),(h)) a^(n+1-h) b^(h)+\sum_{h=1}^(n)((n),(h-1)) a^(n+1-h) +((n),(n)) a^(0) b^(n+1) =$
Da qui in poi è un delirio ancora peggio. Io sto impazzendo, se dopo la seconda lezione sto già messa così, non oso pensare tra un po'...forse ho sbagliato facoltà.
(Tra parentesi: la parte precedente, l'ho dovuta tradurre, ricercando passaggi intermedi eccetera, per non parlare della prima lezione che ho riscritto da capo a piedi...)
spero che così sia chiaro.
tieni conto che $((n+1),(0))=((n),(0))$ e $((n+1),(n+1))=((n),(n))$.
prova e facci sapere. ciao.
Forse sto capendo.
una cosa...ma io posso cambiare così gli indici in base a come ho bisogno? Come fai a capire come modificarli in modo giusto?
Poi...quand hai isolato, in pratica "estraggo" dei termini (primo o ultimo) dalla sommatoria, ovviamente, riscrivendo la sommatoria di conseguenza?
St capendo...
Domani provo a rifare il tutto...grazie mille, davvero.
una cosa...ma io posso cambiare così gli indici in base a come ho bisogno? Come fai a capire come modificarli in modo giusto?
Poi...quand hai isolato, in pratica "estraggo" dei termini (primo o ultimo) dalla sommatoria, ovviamente, riscrivendo la sommatoria di conseguenza?
St capendo...
Domani provo a rifare il tutto...grazie mille, davvero.
CE L'HO FATTA!!!!
Ho usato le uguaglianze che mi hai scritto, più l'identità:
$((n),(h)) + ((n),(h-1))=((n+1),(h))$
alla fine ottengo
$((n+1),(0)) a^(n+1-0) b^0 + \sum_{h=1}^(n)((n+1),(h)) a^(n+1-h)b^h + ((n+1),(n+1))a^((n+1)-(n+1))b^(n+1)$
A questo punto ri-icludo il primo e l'ultimo termine nella sommatoria, che diventa
$=\sum_{h=0}^(n+1)((n+1),(h)) a^(n+1-h)b^h$ ed è proprio quello che volevo ottenre.
Piccola correzione: nei miei appunti, e nel mio post precedente, all'ultima sommatoria mancava questo pezzo: $b^h$, vero?
Prima non mi ero accorta...ma del resto non ci capivo niente...
Mi rimane un unico dubbio: secondo voi, il fatto che da un certo punto in poi le h siano diventate k...è un errore del prof o c'è un motivo? (anche perchè scrive le h e le k minuscole praticamente identiche)
Grazie
Ho usato le uguaglianze che mi hai scritto, più l'identità:
$((n),(h)) + ((n),(h-1))=((n+1),(h))$
alla fine ottengo
$((n+1),(0)) a^(n+1-0) b^0 + \sum_{h=1}^(n)((n+1),(h)) a^(n+1-h)b^h + ((n+1),(n+1))a^((n+1)-(n+1))b^(n+1)$
A questo punto ri-icludo il primo e l'ultimo termine nella sommatoria, che diventa
$=\sum_{h=0}^(n+1)((n+1),(h)) a^(n+1-h)b^h$ ed è proprio quello che volevo ottenre.
Piccola correzione: nei miei appunti, e nel mio post precedente, all'ultima sommatoria mancava questo pezzo: $b^h$, vero?
Prima non mi ero accorta...ma del resto non ci capivo niente...
Mi rimane un unico dubbio: secondo voi, il fatto che da un certo punto in poi le h siano diventate k...è un errore del prof o c'è un motivo? (anche perchè scrive le h e le k minuscole praticamente identiche)
Grazie
prego.
sì, mancava $b^h$, mi era sfuggito.
quanto ad indici e variabili, il prof. ha fatto una sostituzione per dire che non era proprio la stessa sommatoria quella che stava scrivendo (d'altronde in una compariva $n$ e nell'altra $n+1$), anche se ovviamente il risultato non cambia se fai una sommatoria su $h$ o su $k$ in cui cambia solo il nome della variabile.
spero di aver risposto alla domanda. ciao.
sì, mancava $b^h$, mi era sfuggito.
quanto ad indici e variabili, il prof. ha fatto una sostituzione per dire che non era proprio la stessa sommatoria quella che stava scrivendo (d'altronde in una compariva $n$ e nell'altra $n+1$), anche se ovviamente il risultato non cambia se fai una sommatoria su $h$ o su $k$ in cui cambia solo il nome della variabile.
spero di aver risposto alla domanda. ciao.
"adaBTTLS":
prego.
sì, mancava $b^h$, mi era sfuggito.
quanto ad indici e variabili, il prof. ha fatto una sostituzione per dire che non era proprio la stessa sommatoria quella che stava scrivendo (d'altronde in una compariva $n$ e nell'altra $n+1$), anche se ovviamente il risultato non cambia se fai una sommatoria su $h$ o su $k$ in cui cambia solo il nome della variabile.
spero di aver risposto alla domanda. ciao.
Mmmh...Scusa se abuso della tu apazienza eh...
Ma allora
$ \sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n+1-k) b^k +b \sum_{k=0}^(n)((n),(k)) a^(n-k) b^(k+1)=$
non è uguale a
$\sum_{h=0}^(n)((n),(h)) a^(n+1-h) b^h + \sum_{h=1}^(n+1)((n),(h-1)) a^(n+1-h) b^(h)$ ?????
Cioè, mi spiego, non è la stessa cosa, scritta cambiando le variabili (cioè indici ed esponenti), in modo da poter applicare delle regole?
Scusa le domande, ma come dicevo non ho mai operato sulle sommatorie e mi risulta un po' difficile capire le "manipolaioni" che si possono effettuare...
Cercherò della teoria sulle sommatorie...
Comunque, di nuovo, grazie mille per la rapidità (e per la pazienza...): sono al primo anno di Matematica, un po' inesperta...
Un'ultima cosa, una curiosità: è stato lo stesso Newton a dimostrare la sua formula per induzione o qualche matematico successivo?
Beh chiunque sia stato... Troppo bravo...ha tutta la mia ammirazione!
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