Difficolta su esercizio di probabilità composta
Sto facendo una serie di esercizi sull'argomento probabilità composta.
Ho capito la parte teorica e anche come risolvere molti esercizi, ce ne è uno però che mi ha dato molta difficoltà e in parte non riesco a risolvere. Non ho idea di come definire gli eventi da utilizzare.
Il testo del problema è il seguente:
Da un mazzo di 52 carte si estraggono 4 carte senza reimmissione, calcolare la probabilità di avere:
Il primo quesito, dopo vari tentativi sono riuscito a portarlo ad un risultato corretto, mi preoccupa il fatto che ho sbagliato più volte l'approccio, quindi una impostazione di esempio potrebbe chiarirmi il concetto.
Il secondo proprio non riesco ad impostarlo. Ho inteso con valori crescenti l'insieme delle coppie formate da una prima carta < della seconda carta < della terza e < della quarta.
Qualcuno può aiutarmi?
Ho capito la parte teorica e anche come risolvere molti esercizi, ce ne è uno però che mi ha dato molta difficoltà e in parte non riesco a risolvere. Non ho idea di come definire gli eventi da utilizzare.
Il testo del problema è il seguente:
Da un mazzo di 52 carte si estraggono 4 carte senza reimmissione, calcolare la probabilità di avere:
- 4 carte non figura a valori consecutivi[/list:u:1uqwxhye]
- 4 carte non figura a valori crescenti[/list:u:1uqwxhye]
Il primo quesito, dopo vari tentativi sono riuscito a portarlo ad un risultato corretto, mi preoccupa il fatto che ho sbagliato più volte l'approccio, quindi una impostazione di esempio potrebbe chiarirmi il concetto.
Il secondo proprio non riesco ad impostarlo. Ho inteso con valori crescenti l'insieme delle coppie formate da una prima carta < della seconda carta < della terza e < della quarta.
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Ma se le carte non devono essere consecutive basta che non ci sia nemmeno una coppia di carte di valore uguale (2 cinque, 2 tre...) e le possiamo disporre in ordine crescente, o sbaglio?
Ho capito, quindi non riuscivo a impostarlo perchè erroneamente pensavo che la domanda chiedesse che la prima fosse minore della seconda pescata e che fosse minore della terza e così via. Invece se io ne prendo quattro senza curarmi dell'ordine posso sempre ordinarle dalla più piccola alla più grande a patto che siano tutte uguali.
"barbiomalefico":
Ho capito, quindi non riuscivo a impostarlo perchè erroneamente pensavo che la domanda chiedesse che la prima fosse minore della seconda pescata e che fosse minore della terza e così via. Invece se io ne prendo quattro senza curarmi dell'ordine posso sempre ordinarle dalla più piccola alla più grande a patto che siano tutte DISUGUALI.
corretto, mi è partito il non di "che non siano tutte uguali"
Per completezza posto la mia soluzione dell'esercizio:
4 carte non figura a valori consecutivi:
affinchè siano consecutive la prima carta pescata deve essere fra le prime 7 numeriche perchè ad essa ne devono seguire almeno 3 (quindi al massimo avremo un 7 un 8 un 9 e un 10), ogni altra carta pescata deve essere un ben preciso numero (se pesco il 5 dovrò avere il 6 e poi il 7 e poi l'8)
Per cui $ P=((7*4)/52)*((1*4)/51 )*((1*4)/50)*((1*4)/49)=32/116025 $
4 carte non figura a valori crescenti
Come abbiamo detto i valori crescenti sono le quadruple formate da carte numeriche di valore diverso per cui dopo ogni carta pescata vanno tolte tutte quelle che hanno lo stesso valore (se pesco un 5 i 5 rimasti (che sono tre) non sono validi).
per cui la probabilità che siano 4 carte numeriche di valore diverso tra loro è: $ P=((10*4)/52)*((9*4)/51 )*((8*4)/50)*((7*4)/49)=1536/7735 $
noi però vogliamo che siano crescenti man mano che le peschiamo. infatti la probabilità appena ottenuta indica solo che le quattro carte possono essere ordinate in ordine crescente non che sono state pescate in quell'ordine. Ma noi sappiamo che i possibili ordini di uscita delle carte sono: $ 4! = 24 $ . Visto che solo uno di essi è quello che ci interessa ci basta dividere per questo numero.
Il risultato diventa quindi: $ 1536/(7735*4!)=64/7735 $
4 carte non figura a valori consecutivi:
affinchè siano consecutive la prima carta pescata deve essere fra le prime 7 numeriche perchè ad essa ne devono seguire almeno 3 (quindi al massimo avremo un 7 un 8 un 9 e un 10), ogni altra carta pescata deve essere un ben preciso numero (se pesco il 5 dovrò avere il 6 e poi il 7 e poi l'8)
Per cui $ P=((7*4)/52)*((1*4)/51 )*((1*4)/50)*((1*4)/49)=32/116025 $
4 carte non figura a valori crescenti
Come abbiamo detto i valori crescenti sono le quadruple formate da carte numeriche di valore diverso per cui dopo ogni carta pescata vanno tolte tutte quelle che hanno lo stesso valore (se pesco un 5 i 5 rimasti (che sono tre) non sono validi).
per cui la probabilità che siano 4 carte numeriche di valore diverso tra loro è: $ P=((10*4)/52)*((9*4)/51 )*((8*4)/50)*((7*4)/49)=1536/7735 $
noi però vogliamo che siano crescenti man mano che le peschiamo. infatti la probabilità appena ottenuta indica solo che le quattro carte possono essere ordinate in ordine crescente non che sono state pescate in quell'ordine. Ma noi sappiamo che i possibili ordini di uscita delle carte sono: $ 4! = 24 $ . Visto che solo uno di essi è quello che ci interessa ci basta dividere per questo numero.
Il risultato diventa quindi: $ 1536/(7735*4!)=64/7735 $
"barbiomalefico":
Per cui $ P=((7*4)/52)*((1*4)/51 )*((1*4)/50)*((1*4)/49)=32/116025 $
Visto che nel titolo si parla di probabilità composta, si potrebbero anche definire gli eventi dei quali calcolare la probabilità dell'intersezione. Io avrei definito:
$E_1$ l'evento "la prima carta ha valore minore o uguale a 7";
$E_i$ l'evento "la i-esima carta ha valore consecutivo a quello della (i-1)-esima carta", per i=2,3,4.
Il risultato sarebbe $P(E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4)$ e i vari pezzi dello sviluppo ($P(E_1)$, $P(E_2|E_1)$, $P(E_3|E_1\cap E_2)$, $P(E_4|E_1\cap E_2\cap E_3)$) sono proprio quelli che hai messo tra parentesi nella tua espressione.
Va bene?
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