Differenza v.a. discrete

[feddy]

Siano X e Y due v.a. discrete indipendenti tali che \( X \sim B(1,\frac{1}{2}) \) e \( Y \sim B(1,\frac{1}{2}) \) .

(i) Si calcoli la legge di $X + Y$ ;
(ii) Si calcoli la legge di $|X − Y |$;
(iii) Si dica se le due v.a. $X + Y$ e $|X - Y |$ sono indipendenti.

Sol.:

i)Qui non ci sono problemi : \( X +Y\sim B(2,\frac{1}{2}) \)

ii) Qui già non so come procedere. Ci ho sbattuto la testa un po' ma non ne vengo fuori.

Sapendo che \( p_{X+Y}(z)=\sum_{x \in E}p_{X+Y}(x,z-x) \) ,allo stesso modo, considerando la differenza dovei avere \( p_{X-Y}(z)=\sum_{x \in E}p_{X-Y}(x,x-z) \).

Poiché gli eventi sono per ipotesi indipendenti posso scrivere

\( p_{X-Y}(z)=\sum_{x \in E}p_{X}(x)p_{Y}(x-z) \)

Questo è uguale a \( \sum_{i=0}^{z} \binom{1}{i}\frac{1}{2} \binom{1}{i-z} \frac{1}{2}=2 \frac{1}{4}=\frac{1}{2} \)

Non so però come poter dire che legge segue. visto il modulo mi verrebbe da moltiplicare per due il risultato, ma non so nemmeno spiegare il perché "formale".

Altrimenti potrei passare dalla funzione di ripartizione:

Detto $W:=|X-Y|$

$F_W(Z)=\mathbb{P}(W\leq Z)=\mathbb{P}(|X-Y|\leq Z)=\mathbb{P}(X-Y\leqZ cap X-Y\geq -Z)=\mathbb{P}(X-Y\leq Z)\mathbb{P}(X-Y\geq-Z)$.

Solo che qui mi ritrovo nella stessa situazione di prima... non so come calcolare queste due probabilità.

[Lo_zio_Tom]

Se per la somma non trovi problemi, non ne devi trovare nemmeno per ricavare la distribuzione di $W=|X-Y|$.

Per ricavare la distribuzione di $W$ basta una semplice osservazione: Il dominio della variabile sarà $w=0,1$. Sarà zero quando X e Y sono uguali mentre sarà uno quando X e Y sono diverse fra loro…. E quindi $W ~B(1;1/2)$

Se non ne sei convinto, basta analizzare tutto lo spazio campionario

$P(0, 0)=1/4 rarr W=0$

$P(0, 1)=1/4 rarr W=1$

$P(1, 0)=1/4 rarr W=1$

$P(1, 1)=1/4 rarr W=0$

...ed il gioco è fatto!

Le variabili $W=|X-Y|$. e $Z=X+Y$ sono indipendenti? Evidentemente no, essendo costruite sulla base delle stesse $X$ e $Y$.

Per dimostrarlo basta trovare almeno un caso in cui

$P(W|Z) !=P(W)$

A tale scopo consideriamo ad esempio $Z=2$ che implica evidentemente $X=1,Y=1$

Allora $P(W=1|Z=2)=0$ mentre $P(W=1)=1/2$

Quindi il verificarsi di $Z$ modifica la probabilità del verificarsi di $W$ e dunque le variabili non sono indipendenti

Giusto per allenarti sulla somma di va discrete....ho postato questo che, come da titolo, è di semplice risoluzione ma utile (me lo sono inventato di sana pianta e quindi non si trova spesso nei testi). Da fare solo se uno ne ha voglia, ovviamente

[feddy]

Per la somma devo essere sincero mi avvalevo di una regola generale che avevamo dimostrato, cioè $X-B(n,p)$ e $Y-B(m,p)$, allora $X+Y-B(n+m,p)$.

Nella tua risposta però c'è qualcosa che non mi è chiaro.

$P(0,0)=P(0)*P(0)=1/4 rarr W=0$ I conti li ho capiti, ma non capisco da dove venga il $P(0,0)$.

Intendo, perché quei due zeri e poi anche gli uno compaiono tra parentesi? Quindi in realtà la mia domanda riguarda questo:

"tommik": Il dominio della variabile sarà w=0,1.

. Di sicuro dipende dalla legge di $X$ e $Y$, ma non riesco a capire il perché.

Ultima cosa, perché con quei valori allora $W$ deve avere una binomiale con $n=1$ e $p=1/2$?


Non appena avrò chiaro ciò proverò a fare l'esercizio da te proposto, grazie mille!

[feddy]

Forse ci sono ! Essendo che la legge binomiale $B(n,p)$ esprime il numero di successi in $n$ tentativi di probabilità $p$, quello che hai fatto tu è stato fare tutte le possibili cmobinazioni:

I successi possono essere o $0$ o $1$, visto che abbiamo che sia $X$ che $Y$ hanno distribuzione $B(1,\frac{1}{2})$, cioè se facciamo un tentativo possiamo ottenere un successo oppure non ottenerlo.

Ma non ho ancora chiaro il motivo per cui $W -B(1,1/2)$. Che $n$ sia $1$ lo vedo dal fatto che al massimo $W$ prende il valore $1$ ?
Ma l'$1/2$?

[Lo_zio_Tom]

data l'estrema semplicità dell'esercizio ho utilizzato delle formule poco formali...

Quindi: per calcolare una funzione di variabili discrete è meglio utlizzare la funzione di probabilità e non la CDF.

La prima cosa da fare è capire qual è il supporto della nuova variabile e successivamente assegnare ad ogni valore del supporto un valore di probabilità tale per cui $Sigmap=1$

Nel caso di $W=|X-Y|$ , per il teorema della probabilità totale otteniamo quanto segue:

$P{|X-Y|=0}=P{X=0;Y=0}+P{X=1;Y=1}=$ per l'indipendenza $=P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P{Y=1}=1/4+1/4=1/2$

$P{|X-Y|=1}=P{X=0;Y=1}+P{X=1;Y=0}=$ per l'indipendenza $=P{X=0}P{Y=1}+P{X=1}P{Y=0}=1/4+1/4=1/2$

Quindi ricapitolando abbiamo ottenuto:

$|X-Y|-={{: ( 0 , 1 ),( 1/2 , 1/2 ) :}$

che è proprio una $B(1;1/2)$

************
Oppure puoi anche vedere i dati in maniera tabellare....vediamo come calcolare la distribuzione di $Z=X+Y$



I valori che vedi in blu sono il supporto della variabile $Z$ a cui corrispondono le rispettive probabilità congiunte, ottenute moltiplicando le probabilità marginali, per l'indipendenza...quindi non devi fare altro che sommare fra loro tutte le probabilità a cui corrisponde lo stesso valore del dominio (ovvero applichi il teorema della probabilità totale) ottenendo

$Z=(X+Y)-={{: ( 0 , 1 , 2 ),( 1/4, 1/2 , 1/4 ) :}$

cioè proprio una $B(2;1/2)$


ora dovrebbe essere tutto chiaro

PS: l'esercizio che ti ho proposto è semplice ma sottintende un certo ragionamento...se non riesci tienilo presente per il futuro...

ciao

[feddy]

Che dire tommik, grazie infinite! Ho finalmente capito l'esercizio, ora provo a cimentarmi in quello da te gentilmente proposto !