Densità marginale

[luca661]

Ciao ragazzi, ho un problema con il seguente esercizio ve lo illustro.

Ho una variabile aleatoria assolutamente continua bidimensionale \(\displaystyle (X,Z) \) la cui densità è data da \(\displaystyle f(x,z)= (1+z)x^2 \) con \(\displaystyle 0
devo calcolare la densità marginale di z.

Svolgimento:

Io ho eseguito il seguente calcolo
\(\displaystyle f_z(z) \)= $ int_(0)^(1)(1+z)x^2 dy $ \(\displaystyle =1/3+z/3 \)

che è giusto se non fosse che osservando le minimali soluzione del mio libro leggo:

per \(\displaystyle 0 (il mio risultato)

per \(\displaystyle z>1 \) , \(\displaystyle f_z(z)=1/(z^3*3)+1/(z^2*3) \)

La mia domanda è quindi in sostanza, come faccio osservando solamente la densità congiunta a non perdermi tutti i casi? Ancora non riesco a capire da dove esce quel caso z>1

Vi ringrazio per la pazienza!

[Lo_zio_Tom]

"luca66":

Io ho eseguito il seguente calcolo
\(\displaystyle f_z(z) \)= $ int_(0)^(1)(1+z)x^2 dy $ \(\displaystyle =1/3+z/3 \)

che è giusto.....

Il tuo calcolo è giusto solo in una parte ristretta del dominio di $Z$: l'errore commesso è davvero grossolano e, In My (very) Humble Opinion, denota delle forti carenze di Analisi di Base più che di Statistica. Tu infatti hai integrato come se il dominio della densità congiunta fosse $D={(x,z)in RR^2:0
La traccia dice chiaramente che la densità congiunta è la seguente:


$f_(XZ)(x,z)={{: ( (1+z)x^2 , ; (x,z)in D ),( 0 , ;"altrove" ) :}$

$D={(x,z) in RR^2:0
Quindi, ovviamente, per $z>1$ si ha

$f_(Z)(z)=int_0^(1/z)(1+z)x^2 dx=(1+z)/(3z^3)=1/(3z^3)+1/(3z^2)$

Che la soluzione sia giusta lo puoi (anzi lo devi sempre) verificare controllando che la $f_Z$ così trovata sia effettivamente una densità, ovvero devono valere entrambe le seguenti

1) $f_Z(z)>=0 AAz$

2) $intf_Z(z)dz=1$

1) ok

2)$ int_(0)^(1)[1/3+z/3]dz+int_(1)^(+oo)[1/(3z^3)+1/(3z^2)]dz=1/3+1/6+1/3+1/6=1$ ok

....e questo è il grafico della marginale $f_Z$ che ne risulta:







A questo punto dovresti anche essere in grado di calcolare l'altra marginale

$f_X(x)=[1/2+x]I_((0;1))(x)$

[luca661]

Risposta chiarissima ti ringrazio, sono consapevole che l'errore sia una carenza di analisi più che di statistica. Purtroppo fanno affrontare questi corsi prima dei corsi di base di analisi, faccio il possibile

[luca661]

Volevo chiederti, visto che ci siamo, se per caso conosci dei programmi che disegnino in modo decente le funzioni in due variabili, con domini compresi, da cui appunto posso anche osservare graficamente i risultati dei miei integrali doppi. Per funzioni molto semplici lo faccio a mano, ma per altre mi risulta evidentemente impossibile.

Ti ringrazio nuovamente!