Dedurre \(P(\Omega) = 1\) da \(\mu (\emptyset) = 0\)
Durante il corso di probabilità abbiamo definito la probabilità su \((\Omega,\mathcal{A})\) come una funzione \(P: \mathcal{A} \to [0,1]\) tale che:
[list=1]
[*:2cactvv5]\(P(\Omega) = 1\)[/*:m:2cactvv5]
[*:2cactvv5]\((A_i)_{i\ge 1} \in \mathcal{A} \implies P(\bigcap^{\infty}_{i=1} A_i) = \sum^{\infty}_{i=1} P(A_i)\)[/*:m:2cactvv5][/list:o:2cactvv5]
Ricordo che ebbi una discussione con il Prof. che mi disse che, al posto della prima condizione avremmo potuto chiedere, come si fa per le misure, \(P(\emptyset) = 0\).
Oggi riguardando gli appunti mi è tornata in mente la questione. Quindi:
Se definiamo una misura su \((\Omega,\mathcal{A})\) come una funzione \(\mu: \mathcal{A} \to [0,\infty]\) tale che:
[list=1]
[*:2cactvv5]\(\mu(\emptyset) = 0\)[/*:m:2cactvv5]
[*:2cactvv5]\((A_i)_{i\ge 1} \in \mathcal{A} \implies \mu(\bigcap^{\infty}_{i=1} A_i) = \sum^{\infty}_{i=1} \mu(A_i)\)[/*:m:2cactvv5][/list:o:2cactvv5]
E definiamo una probabilità come una misura normalizzata a uno, ovvero \(P: \mathcal{A} \to [0,1]\), come possiamo dimostrare che da ciò segue \(P(\Omega) = 1\)?
Io avevo pensato: dato che \(P(\Omega) \le 1\) per definizione, se riusciamo a sfruttare il fatto che \(A \subseteq B \implies P(A) \le P(B)\) per ottenere la disuguaglianza opposta, ovvero \(P(\Omega) \ge 1\), abbiamo finito. Però non mi viene in mente come poter arrivarci.
_______
UPDATE:
Proprio mentre scrivevo l'ultima frase mi è venuto un flash, ma non mi riesco a concludere. Dato che \(\forall A \in \mathcal{A}, \ \ A \subset \Omega\), allora \(P(\Omega) \ge P(A) \ \ \forall A \in \mathcal{A}\) e quindi: \[\Omega = \arg \max_{A \in \mathcal{A}} P(A)\]Ma da qui come posso tirare fuori quel benedetto numero \(1\)? Mi pare serva qualche ragionamento un po' più raffinato, magari con qualche sequenza crescente a \(\Omega\) di insiemi...
Mi rendo conto sia abbastanza banale
Ringrazio se qualcuno mi aiuta
[list=1]
[*:2cactvv5]\(P(\Omega) = 1\)[/*:m:2cactvv5]
[*:2cactvv5]\((A_i)_{i\ge 1} \in \mathcal{A} \implies P(\bigcap^{\infty}_{i=1} A_i) = \sum^{\infty}_{i=1} P(A_i)\)[/*:m:2cactvv5][/list:o:2cactvv5]
Ricordo che ebbi una discussione con il Prof. che mi disse che, al posto della prima condizione avremmo potuto chiedere, come si fa per le misure, \(P(\emptyset) = 0\).
Oggi riguardando gli appunti mi è tornata in mente la questione. Quindi:
Se definiamo una misura su \((\Omega,\mathcal{A})\) come una funzione \(\mu: \mathcal{A} \to [0,\infty]\) tale che:
[list=1]
[*:2cactvv5]\(\mu(\emptyset) = 0\)[/*:m:2cactvv5]
[*:2cactvv5]\((A_i)_{i\ge 1} \in \mathcal{A} \implies \mu(\bigcap^{\infty}_{i=1} A_i) = \sum^{\infty}_{i=1} \mu(A_i)\)[/*:m:2cactvv5][/list:o:2cactvv5]
E definiamo una probabilità come una misura normalizzata a uno, ovvero \(P: \mathcal{A} \to [0,1]\), come possiamo dimostrare che da ciò segue \(P(\Omega) = 1\)?
Io avevo pensato: dato che \(P(\Omega) \le 1\) per definizione, se riusciamo a sfruttare il fatto che \(A \subseteq B \implies P(A) \le P(B)\) per ottenere la disuguaglianza opposta, ovvero \(P(\Omega) \ge 1\), abbiamo finito. Però non mi viene in mente come poter arrivarci.
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UPDATE:
Proprio mentre scrivevo l'ultima frase mi è venuto un flash, ma non mi riesco a concludere. Dato che \(\forall A \in \mathcal{A}, \ \ A \subset \Omega\), allora \(P(\Omega) \ge P(A) \ \ \forall A \in \mathcal{A}\) e quindi: \[\Omega = \arg \max_{A \in \mathcal{A}} P(A)\]Ma da qui come posso tirare fuori quel benedetto numero \(1\)? Mi pare serva qualche ragionamento un po' più raffinato, magari con qualche sequenza crescente a \(\Omega\) di insiemi...
Mi rendo conto sia abbastanza banale
Ringrazio se qualcuno mi aiuta
Risposte
Non ce la farai mai a dimostrare che la misura di tutto $\Omega$ vale 1.. non è deducibile dai tuoi due nuovi assiomi; infatti non basta chiedere che $P$ è a valori in $[0,1]$: se tu hai $P(\Omega)=1$ e poni $P'(A)=\frac{P(A)}{2}$ allora $P'$ è ancora a valori in $[0,1]$ ma non verifica $P'(\Omega)=1$.
Ti ringrazio per la risposta. Infatti, mi hai aiutato a chiarire cosa non mi quadrava prima: nel dire che assume valori in \([0,1]\) non significa che li assuma (ovviamente!), dato che stiamo parlando di codominio e non di immagine. Forse si potrebbe dedurre imponendo una cosa del tipo \(\text{Im} \ P = [0,1]\)? Ammesso che possa avere senso.
Evidentemente ho i ricordi un po' confusi di quella discussione con il Prof.
Evidentemente ho i ricordi un po' confusi di quella discussione con il Prof.
Beh se assumi che $[0,1]$ sia l'immagine allora per forza $P(\Omega)=1$, dal momento che $P(\Omega)\ge P(A)$ per ogni $A$ misurabile...
Giusto. Grazie mille buona giornata 
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