Covarianza tra massimo e minimo
Wei,
Ecco il mio tentativo di risoluzione:
(i)
Calcolo innanzitutto la funzione di ripartizione $F_U(t)$ per $t \in [0,1]$: $P(min{X,Y}
Da cui $f_U(t)=2(1-t)$ per $t \in [0,1]$.
Da cui $E=int_{0}^{1} x(1-x)dx=1/3$.
(ii)
Mi trovo in difficoltà con il calcolo della covarianza, in particolare del coefficiente $E[UV]$
$Cov(U,V)=E[UV]-E*E[V]$. Analogamente a prima trovo $E[V]=2/3$.
Mi manca il coefficiente $E[UV]$.
Ho ragionato così:
$P(UV
Da cui $f_{UV}(t)=2t$- Quindi $E[UV]=int_{0}^{1}t*2tdt=2/3$.
Da ciò trovo $Cov(U,V)=E[UV]-E*E[V]=2/3 - 2/9=4/9$
Non sono per niente certo del secondo punto. Grazie per l'attenzione, notte
Siano $X,Y - U([0,1]) i.i.d.$ e $U=min{X,Y}$ e $V=max{X,Y}$
Calcolare $E$ e $C o v(U,V)$
Ecco il mio tentativo di risoluzione:
(i)
Calcolo innanzitutto la funzione di ripartizione $F_U(t)$ per $t \in [0,1]$: $P(min{X,Y}
Da cui $E=int_{0}^{1} x(1-x)dx=1/3$.
(ii)
Mi trovo in difficoltà con il calcolo della covarianza, in particolare del coefficiente $E[UV]$
$Cov(U,V)=E[UV]-E*E[V]$. Analogamente a prima trovo $E[V]=2/3$.
Mi manca il coefficiente $E[UV]$.
Ho ragionato così:
$P(UV
Da cui $f_{UV}(t)=2t$- Quindi $E[UV]=int_{0}^{1}t*2tdt=2/3$.
Da ciò trovo $Cov(U,V)=E[UV]-E*E[V]=2/3 - 2/9=4/9$
Non sono per niente certo del secondo punto. Grazie per l'attenzione, notte

Risposte
Ti manca $E [U*V] $ ?
Beh se uno è il massimo e l"altro il minimo fra $X$ e $Y $ per la proprietà commutativa del prodotto è come dire
$E[U*V]=E [X*Y]=1/2*1/2=1/4$
E quindi la tua covarianza è
$1/4-1/3*2/3=1/36$
Beh se uno è il massimo e l"altro il minimo fra $X$ e $Y $ per la proprietà commutativa del prodotto è come dire
$E[U*V]=E [X*Y]=1/2*1/2=1/4$
E quindi la tua covarianza è
$1/4-1/3*2/3=1/36$

Grazie mille tommik per la risposta 
Sì, mi manca $E[UV]$, tuttavia non mi è chiaro perché posso impunemente dire che $E[UV]=E[XY]$. E' perché se il massimo tra i due è $X$, allora il minimo è $Y$. Quindi potrei riscrivere $E[UV]=E[X*Y]$. Ma potrei avere anche il caso opposto: cioè $Y$ massimo e $X$ che diventa quindi minimo, e il risultato non cambia. Corretto come spiegazione?

Sì, mi manca $E[UV]$, tuttavia non mi è chiaro perché posso impunemente dire che $E[UV]=E[XY]$. E' perché se il massimo tra i due è $X$, allora il minimo è $Y$. Quindi potrei riscrivere $E[UV]=E[X*Y]$. Ma potrei avere anche il caso opposto: cioè $Y$ massimo e $X$ che diventa quindi minimo, e il risultato non cambia. Corretto come spiegazione?
Sì esattamente così! Se hai due valori e devi fare il prodotto del più grande per il più piccolo è come fare il prodotto dei due valori: se uno è il massimo dei due allora l'altro è il minimo.
Perfetto, grazie mille!
