Covarianza tra massimo e minimo

feddy
Wei,

Siano $X,Y - U([0,1]) i.i.d.$ e $U=min{X,Y}$ e $V=max{X,Y}$

Calcolare $E$ e $C o v(U,V)$


Ecco il mio tentativo di risoluzione:

(i)
Calcolo innanzitutto la funzione di ripartizione $F_U(t)$ per $t \in [0,1]$: $P(min{X,Y} Da cui $f_U(t)=2(1-t)$ per $t \in [0,1]$.

Da cui $E=int_{0}^{1} x(1-x)dx=1/3$.


(ii)
Mi trovo in difficoltà con il calcolo della covarianza, in particolare del coefficiente $E[UV]$
$Cov(U,V)=E[UV]-E*E[V]$. Analogamente a prima trovo $E[V]=2/3$.

Mi manca il coefficiente $E[UV]$.

Ho ragionato così:

$P(UV
Da cui $f_{UV}(t)=2t$- Quindi $E[UV]=int_{0}^{1}t*2tdt=2/3$.

Da ciò trovo $Cov(U,V)=E[UV]-E*E[V]=2/3 - 2/9=4/9$


Non sono per niente certo del secondo punto. Grazie per l'attenzione, notte ;-)

Risposte
Lo_zio_Tom
Ti manca $E [U*V] $ ?
Beh se uno è il massimo e l"altro il minimo fra $X$ e $Y $ per la proprietà commutativa del prodotto è come dire

$E[U*V]=E [X*Y]=1/2*1/2=1/4$

E quindi la tua covarianza è

$1/4-1/3*2/3=1/36$

:)

feddy
Grazie mille tommik per la risposta :)

Sì, mi manca $E[UV]$, tuttavia non mi è chiaro perché posso impunemente dire che $E[UV]=E[XY]$. E' perché se il massimo tra i due è $X$, allora il minimo è $Y$. Quindi potrei riscrivere $E[UV]=E[X*Y]$. Ma potrei avere anche il caso opposto: cioè $Y$ massimo e $X$ che diventa quindi minimo, e il risultato non cambia. Corretto come spiegazione?

Lo_zio_Tom
Sì esattamente così! Se hai due valori e devi fare il prodotto del più grande per il più piccolo è come fare il prodotto dei due valori: se uno è il massimo dei due allora l'altro è il minimo.

feddy
Perfetto, grazie mille! :)

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