Coppie di variabili aleatorie
Ho difficoltà con il seguente:
Sia $(X,Y)$ una coppia di variabili aleatorie distribuite uniformemente in $[-1,1]xx[-1,1]$.
Sia $Z$ la variabile aleatoria ottenuta trasformando la coppia secondo la legge:$Z=|X|-|Y|$.
Calcolare densità di probabilità,la media e la varianza di $Z$.
Sia $(X,Y)$ una coppia di variabili aleatorie distribuite uniformemente in $[-1,1]xx[-1,1]$.
Sia $Z$ la variabile aleatoria ottenuta trasformando la coppia secondo la legge:$Z=|X|-|Y|$.
Calcolare densità di probabilità,la media e la varianza di $Z$.
Risposte
"elgiovo":
[quote="Ene@"]
Scusami...se sommo $1/2rect(x)+1/2rect(x)$ ottengo $rect(x)$
Non ci siamo capiti. Si ha $f_X(x)=1/2"rect"_2(x)=1/2"rect"_1(x+1/2)+1/2"rect"_1(x-1/2)$. L'ho scritto così in modo da evidenziare le parti a sinistra e a destra dell'asse $y$. Ribaltando $1/2"rect"_1(x+1/2)$ ottieni $1/2"rect"_1(x-1/2)$, che sommato al vecchio $1/2"rect"_1(x-1/2)$, dà $f_(|X|)(x)="rect"_1(x-1/2)$.[/quote]
Allora dovevo ribaltare a destra perchè $1/2rect(x+1/2)$ si trova a sinistra dell'asse $y$!
Comunque ora è tutto chiaro
Grazie 1000
"elgiovo":
...devi ribaltare la parte di d.d.p. di $X$ a sinistra dell'asse $y$ e sommarla alla parte a destra....
Intendevo "ribaltare la parte che si trova a sinistra di...", non "ribaltare a sinistra di...".
Puntiglio a parte, lieto che tu abbia compreso. Ciao.
Stavo per scrivere io la stessa cosa!Era questione di convenzione!
Grazie per la gentilezza e la pazienza
Buonanotte
Grazie per la gentilezza e la pazienza
Buonanotte
La coppia di variabili aleatorie $(X,Y)$ è uniformemente distribuita in $[-1,1]xx[-2,2]$.
Sia $Y=X-Z$; calcolare $f_Z(z)$,media e varianza di $Z$
Sia $Y=X-Z$; calcolare $f_Z(z)$,media e varianza di $Z$
Solito trucco: per saturazione $f_X(x)=int_(-oo)^(oo) f_(XY)(x,y)dy=1/2"rect"_2(x)$, analogamente si vede che $f_Y(y)=1/4"rect"_4(y)$.
Poichè $f_Y(y)=f_(-Y)(y)$, vista la parità della d.d.p. di $Y$, l'unica difficoltà dell'esercizio è il calcolo della convoluzione $(f_X ox f_Y)(z)$.
Se non sbaglio convolvendo due rettangoli di base diversa si ottiene un trapezio, simmetrico rispetto all'asse $y$ ($to$ $eta_Z=0$). Il calcolo di $sigma_Z^2$ è banale.
Poichè $f_Y(y)=f_(-Y)(y)$, vista la parità della d.d.p. di $Y$, l'unica difficoltà dell'esercizio è il calcolo della convoluzione $(f_X ox f_Y)(z)$.
Se non sbaglio convolvendo due rettangoli di base diversa si ottiene un trapezio, simmetrico rispetto all'asse $y$ ($to$ $eta_Z=0$). Il calcolo di $sigma_Z^2$ è banale.
"elgiovo":
Solito trucco: per saturazione $f_X(x)=int_(-oo)^(oo) f_(XY)(x,y)dy=1/2"rect"_2(x)$, analogamente si vede che $f_Y(y)=1/4"rect"_4(y)$.
Poichè $f_Y(y)=f_(-Y)(y)$, vista la parità della d.d.p. di $Y$, l'unica difficoltà dell'esercizio è il calcolo della convoluzione $(f_X ox f_Y)(z)$.
Se non sbaglio convolvendo due rettangoli di base diversa si ottiene un trapezio, simmetrico rispetto all'asse $y$ ($to$ $eta_Z=0$). Il calcolo di $sigma_Z^2$ è banale.
Ho capito,dal momento che la pdf è pari tutto resta invariato.
Un'altra cosa (se possibile) : tale metodo vale solo se le variabili aleatorie sono statisticamente indipendenti,giusto?
In caso contrario è necessario studiare il tutto atttraverso gli integrali doppi
Scusa ma dimenticavo...la $f_(z)$ che ottengo dove sarà definita?
Nota la d.d.p. congiunta di due v.a. puoi sempre trovare le marginali per saturazione. Invece se le v.a. non sono indipendenti non vale più il discorso della convoluzione: $f_Z(z)=int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,z-x)dx$, in generale diverso da $int_(-oo)^(oo)f_X(x)f_Y(z-x)dx$.
Riguardo alla seconda domanda: se vuoi sapere se si deve "limare" la d.d.p. ottenuta in base ai vincoli non ti preoccupare e convolvi in libertà. Se invece vuoi avere informazioni sull'estensione del supporto del prodotto di convoluzione, allora ti può essere utile il seguente teorema:
Riguardo alla seconda domanda: se vuoi sapere se si deve "limare" la d.d.p. ottenuta in base ai vincoli non ti preoccupare e convolvi in libertà. Se invece vuoi avere informazioni sull'estensione del supporto del prodotto di convoluzione, allora ti può essere utile il seguente teorema:
Siano $f in ccL^1(RR)$ e $g in ccL^p(RR)$, con $1<=p<=oo$. Allora $"supp" (f ox g) sub bar("supp "f + "supp "g)$.
Mi interessava sapere dove fosse definita la pdf di $Z$ in modo tale da integrare negli intervalli giusti per il calcolo della media/varianza
Per quanto riguarda la tua prima risposta, che senso ha calcolar si le densità marginali se le variabili aleatorie sono statisticamente dipendenti?In quel caso il mio parere è che occorra effettuare lo studio attraverso l'ausiulio di integrali doppi,o no?
Per quanto riguarda la tua prima risposta, che senso ha calcolar si le densità marginali se le variabili aleatorie sono statisticamente dipendenti?In quel caso il mio parere è che occorra effettuare lo studio attraverso l'ausiulio di integrali doppi,o no?
"Ene@":
Mi interessava sapere dove fosse definita la pdf di $Z$ in modo tale da integrare negli intervalli giusti per il calcolo della media/varianza
Non ci sono restrizioni da considerare.
"Ene@":
Per quanto riguarda la tua prima risposta, che senso ha calcolar si le densità marginali se le variabili aleatorie sono statisticamente dipendenti?In quel caso il mio parere è che occorra effettuare lo studio attraverso l'ausiulio di integrali doppi,o no?
Visto che prima ho trovato le marginali per saturazione, ho pensato che ti stessi chiedendo se questo è lecito anche nel caso di v.a. dipendenti.
Comunque, non è obbligatorio procedere con gli integrali doppi. Ad esempio, nel caso di somma di due v.a. dipendenti, come ho detto sopra vale $f_Z(z)=int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,z-x)dx$ (il risultato si ottiene per mezzo di un integrale doppio, ma quando lo si ha a disposizione perchè complicarsi la vita?).
Ho trovato due esercizi che proprio non riesco neanche ad impostare:
1
Sia data una coppia di v.a. $(X,Y)$ la cui pdf congiunta è:
$f_(XY)(x,y)=k*y, (x,y)in[-1,1]xx[-1,1]$, nulla altrove
Sia $Z$ la v.a. ottenuta come segue:
$Z=X-min(X,Y)
Determinare pdf,media e varianza di $Z$.
2
Sia $(X,Y)$ una coppia di v.a. distribuite uniformemente in $[-1,1]xx[-1,1]$ e sia $Z=X+Y*"signum"(X)
Calcolare pdf,media e varianza di $Z$.
1
Sia data una coppia di v.a. $(X,Y)$ la cui pdf congiunta è:
$f_(XY)(x,y)=k*y, (x,y)in[-1,1]xx[-1,1]$, nulla altrove
Sia $Z$ la v.a. ottenuta come segue:
$Z=X-min(X,Y)
Determinare pdf,media e varianza di $Z$.
2
Sia $(X,Y)$ una coppia di v.a. distribuite uniformemente in $[-1,1]xx[-1,1]$ e sia $Z=X+Y*"signum"(X)
Calcolare pdf,media e varianza di $Z$.
"Ene@":
1
Sia data una coppia di v.a. $(X,Y)$ la cui pdf congiunta è:
$f_(XY)(x,y)=k*y, (x,y)in[-1,1]xx[-1,1]$, nulla altrove
Sia $Z$ la v.a. ottenuta come segue:
$Z=X-min(X,Y)
Determinare pdf,media e varianza di $Z$.
Qui riscontro qualche problema. Infatti dovrebbe essere $int int _{[-1,1]^2}f_(XY)(x,y)dxdy=1$, mentre il risultato è $0$.
"Ene@":
2
Sia $(X,Y)$ una coppia di v.a. distribuite uniformemente in $[-1,1]xx[-1,1]$ e sia $Z=X+Y*"signum"(X)
Calcolare pdf,media e varianza di $Z$.
Le variabili $X, Y ~ ccU(-1,1)$, perciò $"sign"(X) ~ 1/2[delta(x+1)+delta(x-1)]$ (in sostanza è equiprobabile che $X$ sia positiva o negativa). Dunque anche $Y cdot"sign"(X) ~ ccU(-1,1)$. Da qui segue banalmente per convoluzione che $f_Z(z)$ è triangolare.
Comunque sia, la distribuzione di $Z="min"(X,Y)$ si trova così: la porzione di piano per cui $"min"(x,y)<=z$ è l'intero piano, meno i punti tali per cui $x>=z$ $^^$ $y>=z$.
Per il principio di inclusione-esclusione, $F_Z(z)=F_X(z)+F_Y(z)-F_(xy)(z,z)$. In generale dunque $f_Z(z)=f_X(z)+f_Y(z)-(dF(z,z))/(dz)$.
Se poi $X$ e $Y$ sono indipendenti, allora $F_Z(z)=F_X(z)+F_Y(z)-F_X(z)F_Y(z)$, da cui $f_Z(z)=f_X(z)+f_Y(z)-f_X(z)F_Y(z)-F_X(z)f_Y(z)=f_X(z)[1-F_Y(z)]+f_Y(z)[1-F_X(z)]$.
Per il principio di inclusione-esclusione, $F_Z(z)=F_X(z)+F_Y(z)-F_(xy)(z,z)$. In generale dunque $f_Z(z)=f_X(z)+f_Y(z)-(dF(z,z))/(dz)$.
Se poi $X$ e $Y$ sono indipendenti, allora $F_Z(z)=F_X(z)+F_Y(z)-F_X(z)F_Y(z)$, da cui $f_Z(z)=f_X(z)+f_Y(z)-f_X(z)F_Y(z)-F_X(z)f_Y(z)=f_X(z)[1-F_Y(z)]+f_Y(z)[1-F_X(z)]$.
"elgiovo":
[quote="Ene@"]
1
Sia data una coppia di v.a. $(X,Y)$ la cui pdf congiunta è:
$f_(XY)(x,y)=k*y, (x,y)in[-1,1]xx[-1,1]$, nulla altrove
Sia $Z$ la v.a. ottenuta come segue:
$Z=X-min(X,Y)
Determinare pdf,media e varianza di $Z$.
Qui riscontro qualche problema. Infatti dovrebbe essere $int int _{[-1,1]^2}f_(XY)(x,y)dxdy=1$, mentre il risultato è $0$.
[/quote]
Ho sbagliato a scrivere infatti...la $Y$ è $ccU[0,1]$
Testo dell'esercizio:
Per prima cosa ho trovato che $f_(X,Y)(x,y)=1/4$ nel rettangolo $[-1,1]xx[-1,1]$ e zero altrove
Partendo dalla definizione si ha:
$F_Z(z)=P{g(X,Y)<=z}=P{Ysign(X)<=z}=P{-Y<=z,X<0}+P{Y<=z,X>0}
pertanto distinguiamo i due casi:
1)
$-Y<=z =>Y>=-z,X<0$
il grafico è il seguente:
se $z>0$ allora la retta $y=-z$ si trova nel terzo quadrante e l'area che ci interessa è quella in grigio
$=>F_Z(z)=1/4*(1+Z),-1<=-z<0 <=>0<=z<1
se $z<0$ allora la retta $y=-z$ si trova nel secondo quadrante e l'area che ci interessa è quella in nero
$=>F_Z(z)=1/4(1+z),0<=-z<1 <=> -1<=z<0
2)
$Y<=z,X>0$
il grafico è il seguente:
se $z>0$ allora la retta $y=z$ si trova nel primo quadrante e l'area che ci interessa è quella in blu
$=>F_Z(z)=1/4(z+1),0<=z<1
se $z<0$ allora la retta $y=-z$ si trova nel quarto quadrante e l'area che ci interessa è quella in nero
a questo punto mi blocco
Per prima cosa ho trovato che $f_(X,Y)(x,y)=1/4$ nel rettangolo $[-1,1]xx[-1,1]$ e zero altrove
Partendo dalla definizione si ha:
$F_Z(z)=P{g(X,Y)<=z}=P{Ysign(X)<=z}=P{-Y<=z,X<0}+P{Y<=z,X>0}
pertanto distinguiamo i due casi:
1)
$-Y<=z =>Y>=-z,X<0$
il grafico è il seguente:
se $z>0$ allora la retta $y=-z$ si trova nel terzo quadrante e l'area che ci interessa è quella in grigio
$=>F_Z(z)=1/4*(1+Z),-1<=-z<0 <=>0<=z<1
se $z<0$ allora la retta $y=-z$ si trova nel secondo quadrante e l'area che ci interessa è quella in nero
$=>F_Z(z)=1/4(1+z),0<=-z<1 <=> -1<=z<0
2)
$Y<=z,X>0$
il grafico è il seguente:
se $z>0$ allora la retta $y=z$ si trova nel primo quadrante e l'area che ci interessa è quella in blu
$=>F_Z(z)=1/4(z+1),0<=z<1
se $z<0$ allora la retta $y=-z$ si trova nel quarto quadrante e l'area che ci interessa è quella in nero
a questo punto mi blocco
Tutto risolto! 
"elgiovo":
[quote="Ene@"]
2
Sia $(X,Y)$ una coppia di v.a. distribuite uniformemente in $[-1,1]xx[-1,1]$ e sia $Z=X+Y*"signum"(X)
Calcolare pdf,media e varianza di $Z$.
Le variabili $X, Y ~ ccU(-1,1)$, perciò $"sign"(X) ~ 1/2[delta(x+1)+delta(x-1)]$ (in sostanza è equiprobabile che $X$ sia positiva o negativa). Dunque anche $Y cdot"sign"(X) ~ ccU(-1,1)$. Da qui segue banalmente per convoluzione che $f_Z(z)$ è triangolare.[/quote]
Come fai ad arrivare a $"sign"(X) ~ 1/2[delta(x+1)+delta(x-1)]$?
Basta interpretare la d.d.p. di $X$: visto che la v.a. è distribuita uniformemente su un intervallo simmetrico rispetto all'asse $y$, questa sarà negativa o positiva con probabilità $1/2$. Ovviamente la d.d.p. di $"sign"(X)$ è a impulsi di Dirac anche se la condizione di simmetria non è rispettata, semplicemente un impulso sarà "più alto" dell'altro. Questo è dovuto al fatto che $"sign"(X)$ può essere solo $1$ o $-1$.
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