Coppie di variabili aleatorie

[Sk_Anonymous]

Ho difficoltà con il seguente:

Sia $(X,Y)$ una coppia di variabili aleatorie distribuite uniformemente in $[-1,1]xx[-1,1]$.
Sia $Z$ la variabile aleatoria ottenuta trasformando la coppia secondo la legge:$Z=|X|-|Y|$.
Calcolare densità di probabilità,la media e la varianza di $Z$.

[codino75]

prova a passare dalla funzione di ripartizione, che e' in pratica quella del tipo:
F(a)=P(x disolito si fa cosi'.

[Sk_Anonymous]

"codino75":prova a passare dalla funzione di ripartizione, che e' in pratica quella del tipo:
F(a)=P(x disolito si fa cosi'.

è proprio questo il problema

[codino75]

di solito, quandopossibile, ragiono sui grafici.
in questo caso sarebbe un grafico tridimensionale (z in funzione di x ed y), ma dovresti farcela.
se rappresenti z sull'asse verticale ed x e y sugli assi orizzontali
devi tagliare il grafico con un piano generico
z=a (piano roizzontale)
e calcolarti l'area ( in quanto le distribuz sono costanti) delle porzioni di piano xy per le quali z

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[elgiovo]

Come detto sopra, un modo per trovare la densità di $Z$ è calcolarne la sua cdf:

$F_Z(z)=P{|X|-|Y|<=z}=P{|Y|>=|X|-z}=int int_(D_(XY)(z)) f_(XY)(x,y)"d"x"d"y$

Poichè $f_(XY)(x,y)=0$ se $(x,y) !in [-1,1]times[-1,1]$ possiamo ridurci a trovare $D_(XY)(z)$, appunto, nel quadrato $[-1,1]times[-1,1]$:

se $-1 se $0
In definitiva,

$F_Z(z)={(0,,z<=-1),((1+z)^2/2,,-11):}" "stackrel (d/(dz))(rarr) " "f_Z(z)={(0,,z<=-1),(z+1,,-11):}

o, più sinteticamente, $f_Z(z)="tri"_1(z)$. La media è ovviamente $0$, la varianza è $sigma_Z^2=int_(-oo)^(oo)z^2 f_Z(z)"d"z=int_-1^0 z^2(z+1)"d"z + int_0^1 z^2(1-z)"d"z=1/6$.

[codino75]

mi e' venuto in mente che puoi spezzettare->semplificare il ragionamento considerando prima le v.a.
W=|X|
Q=|Y|
entrambi uniformi tra 0 ed 1
e poi considerare ovviamente
Z=W-Q

[Sk_Anonymous]

Grazie ad entrambi
Se volessi applicare un metodo analitico?
Dal momento che la variabili di cui sopra sono statisticamente indipendenti,allora vale
$f_(XY)(x,y)=f_X(x)*f_Y(y)
per cui la CDF risulterà essere
$F_Z(z)=int_(-infty)^(+infty)f_X(x)*F_Y(z-x)dx=f_X(x)oxF_Y(z-x)
ho fatto così (per quanto riguarda il primo quadrante) $=> Z=X-Y$
tralasciando la dimostrazione dell'indipendenza statistica tra $X,Y$ che è banale,ho trovato
$F_Y(y)={(0,y<-1),(1/2(y+1),-1<=y<1),(1,y>=1):}
a questo punto come devo applicare quella convoluzione?

[elgiovo]

Un metodo molto più semplice: per saturazione $f_X(x)=int_(-oo)^(oo) f_(XY)(x,y)dy=int_(-1)^1 1/4 dy = 1/2"rect"_2(x)=f_Y(x)$.
Dunque $f_(|X|)(x)="rect"_1(x-1/2)$ e $f_(-|Y|)(y)="rect"_1(y+1/2)$. E' noto che se una v.a. è somma di altre due v.a. la sua densità di probabilità è la convoluzione delle densità delle altre due. Da qui è immediato che $f_Z(z)=f_(|X|) ox f_(-|Y|)=int_(-oo)^(oo) "rect"_1(x-1/2) "rect"_1(z-x+1/2)dx="tri"_1(z)$.

[Sk_Anonymous]

"elgiovo":Un metodo molto più semplice: per saturazione $f_X(x)=int_(-oo)^(oo) f_(XY)(x,y)dy=int_(-1)^1 1/4 dy = 1/2"rect"_2(x)=f_Y(x)$.
Dunque $f_(|X|)(x)="rect"_1(x-1/2)$ e $f_(-|Y|)(y)="rect"_1(y+1/2)$. E' noto che se una v.a. è somma di altre due v.a. la sua densità di probabilità è la convoluzione delle densità delle altre due. Da qui è immediato che $f_Z(z)=f_(|X|) ox f_(-|Y|)=int_(-oo)^(oo) "rect"_1(x-1/2) "rect"_1(z-x+1/2)dx="tri"_1(z)$.

Cosa intendi con "saturazione"?Inoltre..
Perchè $f_(|X|)(x)="rect"_1(x-1/2)$ e,analogamente, $f_(-|Y|)(y)="rect"_1(y+1/2)$?

[Sk_Anonymous]

Il ritardo è dato dall'altezza del $rect$?

[elgiovo]

Conoscendo la densità congiunta di due v.a., $f_(XY)(x,y)$, puoi trovare la marginale $f_X(x)$ "saturando" rispetto ad $y$: $f_X(x)=int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,y)dy$. Analogamente $f_Y(y)=int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,y)dx$.
Le d.d.p. di $|X|$ è banale conoscendo quella di $X$. Infatti se $X$ si addensa attorno a $-x<0$, $|X|$ si addensa attorno a $x>0$, in modo additivo rispetto all'addensarvisi di $X$. In parole povere, devi ribaltare la parte di d.d.p. di $X$ a sinistra dell'asse $y$ e sommarla alla parte a destra. Il ragionamento è analogo per $-|Y|$, ma questa volta, dopo aver ribaltato e sommato, devi ribaltare il tutto ancora una volta rispetto all'asse $y$.

[Sk_Anonymous]

Dammi un attimo che ci ragiono,a primo impatto non capisco!

[elgiovo]

"Ene@":Dammi un attimo che ci ragiono,a primo impatto non capisco!

E chi si muove...

[Sk_Anonymous]

Boh..non riesco a capire!

[Sk_Anonymous]

Se ribalto la pdf di $X$ a sinistra della $y$ ottengo due rettangoli sovrappostii di altezza $1/2$ e base $1$..fin qua va bene?

[elgiovo]

A mali estremi... Conosci il teorema secondo cui se $Y=g(X)$ allora $f_Y(y)=sum_(i=1)^N (f_X(x_i))/(|g'(x_i)|)$, dove le $x_i$ sono le soluzioni inverse di $Y=g(X)$?
Ebbene, sia $Y=|X|$; vogliamo $f_Y(y)=f_(|X|)(y)$. Se $y<0$ non ci sono soluzioni inverse, dunque $f_Y(y)=0$. Se $y>0$ le due soluzioni inverse sono $y$ e $-y$, da cui $f_Y(y)=(f_X(y))/(|1|)+(f_X(-y))/(|-1|)=f_X(y)+f_X(-y)$.

[elgiovo]

"Ene@":Se ribalto la pdf di $X$ a sinistra della $y$ ottengo due rettangoli sovrappostii di altezza $1/2$ e base $1$..fin qua va bene?

Va bene. Sommando i rettangoli si ottiene appunto $"rect"_1(x-1/2)$.

[Sk_Anonymous]

"elgiovo":[quote="Ene@"]Se ribalto la pdf di $X$ a sinistra della $y$ ottengo due rettangoli sovrappostii di altezza $1/2$ e base $1$..fin qua va bene?

Va bene. Sommando i rettangoli si ottiene appunto $"rect"_1(x-1/2)$.[/quote]

Scusami...se sommo $1/2rect(x)+1/2rect(x)$ ottengo $rect(x)$
Evidentemente c'è qualcosa che non capisco!
Vabè lasciamo perdere.
Grazie

[Sk_Anonymous]

"elgiovo":A mali estremi... Conosci il teorema secondo cui se $Y=g(X)$ allora $f_Y(y)=sum_(i=1)^N (f_X(x_i))/(|g'(x_i)|)$, dove le $x_i$ sono le soluzioni inverse di $Y=g(X)$?
Ebbene, sia $Y=|X|$; vogliamo $f_Y(y)=f_(|X|)(y)$. Se $y<0$ non ci sono soluzioni inverse, dunque $f_Y(y)=0$. Se $y>0$ le due soluzioni inverse sono $y$ e $-y$, da cui $f_Y(y)=(f_X(y))/(|1|)+(f_X(-y))/(|-1|)=f_X(y)+f_X(-y)$.

Se applico tale teorema ho

$f_Y(y)=f_X(y)+f_X(-y)=rect(y/2)$!

[elgiovo]

"Ene@":
Scusami...se sommo $1/2rect(x)+1/2rect(x)$ ottengo $rect(x)$

Non ci siamo capiti. Si ha $f_X(x)=1/2"rect"_2(x)=1/2"rect"_1(x+1/2)+1/2"rect"_1(x-1/2)$. L'ho scritto così in modo da evidenziare le parti a sinistra e a destra dell'asse $y$. Ribaltando $1/2"rect"_1(x+1/2)$ ottieni $1/2"rect"_1(x-1/2)$, che sommato al vecchio $1/2"rect"_1(x-1/2)$, dà $f_(|X|)(x)="rect"_1(x-1/2)$.

[elgiovo]

"Ene@":[quote="elgiovo"]A mali estremi... Conosci il teorema secondo cui se $Y=g(X)$ allora $f_Y(y)=sum_(i=1)^N (f_X(x_i))/(|g'(x_i)|)$, dove le $x_i$ sono le soluzioni inverse di $Y=g(X)$?
Ebbene, sia $Y=|X|$; vogliamo $f_Y(y)=f_(|X|)(y)$. Se $y<0$ non ci sono soluzioni inverse, dunque $f_Y(y)=0$. Se $y>0$ le due soluzioni inverse sono $y$ e $-y$, da cui $f_Y(y)=(f_X(y))/(|1|)+(f_X(-y))/(|-1|)=f_X(y)+f_X(-y)$.

Se applico tale teorema ho

$f_Y(y)=f_X(y)+f_X(-y)=rect(y/2)$![/quote]

No (anche perchè altrimenti $int_(-oo)^(oo)f_Y(y)dy>1$, impossibile). Come ti ho fatto notare, se $y<0$ non ci sono soluzioni inverse, dunque $f_Y(y)=0$. La somma $f_X(y)+f_X(-y)$ va fatta solo a destra dell'asse $y$, e restituisce il fatidico $"rect"_1(x-1/2)$.