Convergenza variabili aleatorie

[AlyAly2]

Ciao a tutti, io ho grandi difficoltà a risolvere questo tipo di esercizi:
1) Sia $(X_1,X_2,...X_n)$ un campione di variabili aleatorie i.i.d con $X_i $ v.a. $U[0,1]$.
Sia $ T_n=n min_i X_i$
Studiare la convergenza in legge di ${T_n}_n$

2)Sia ${X_n}_{n in NN}$ una successione di variabili aleatorie i.i.d con $P(X_n)=1/n$ e $p(X_n=0)=1-1/n$. Studiare la convergenza in legge di ${X_n}_n$

Ora l'unica cosa che mi viene in mente è che se vale la legge debole dei grandi numeri allora $X_n$ converge in legge a $X$, giusto? e inoltre si ha convergenza in legge se $ E(f(X_n))->E(f(x))$...però non so come applicare quanto detto nel caso dei due esercizi,anche perchè non so come fare per calcolare il valore atteso delle successioni o la varianza. Qualcuno mi può aiutare a capire? grazie mille in anticipo a tutti!

[fu^2]

nel primo potresti provare a calcolare la funzione di ripartizione... E usare qualche risultato che le leghi alle convergenze.

[AlyAly2]

Ciao, grazie per la risposta
Ma come faccio a calcolarmi la funzione di ripartizione? So che gli $ X_i $ hanno una distribuzione unifirme e quindi anche i $T_i$ hanno la stessa distribuzione...ma poi?

[fu^2]

$P(T_i

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[AlyAly2]

Il problema è che non so come fare quel calcolo...dopo aver scritto
$ P(T_i mi blocco...

[retrocomputer]

Potresti passare al complementare, così salta fuori una bella intersezione...

[AlyAly2]

Passando al complementare ottengo $ 1-P(min_iX_i>=t/n) $ e poi da qui come faccio a tirarne fuori un'intersezione?
il mio problema è che non so come comportarmi con il $min_i $...

[retrocomputer]

Il minimo delle $X_i$ è maggiore di $t/n$ se e solo se lo sono tutte le $X_i$, quindi
$P(\min_i X_i\geq t/n)=P(\bigcap_i (X_i\geq t/n))=\prod_i P(X_i\geq t/n)$
Ti torna?

[AlyAly2]

ok, il mistero del minimo è svelato
Quindi applicando quanto mi hai detto avrei:
$1-P(min_iX_i>=t/n)=1-prod_(i = 1)^(n)(P(X_i>=t/n))=1-prod_(i = 1)^(n)(1-P(X_i Quindi la funzione di ripartizione dovrebbe essere:
$F={ ( 0,t/n<=0 ),( 1-(1-t/n)^n,01 ):}$
spero di non aver scritto troppe cavolate
e poi da qui come dovrei procedere per studiare la convergenza?

[fu^2]

http://it.wikipedia.org/wiki/Convergenz ... tribuzione

non lo conoscevi questo risultato?

[AlyAly2]

Ma la funzione di ripartizione è corretta come l'ho scritta?
Quindi basta che calcolo il $lim_{n->oo}$ della funzione di distribuzione che ho trovato?
se non sbaglio il limite dovrebbe venire:
$F={ ( 0,t<=0 ),( 1-e^(-t),t>0 ):}$ ma mi sa che sto sbagliando qualcosa...

[fu^2]

non ho guardato i calcoli, ad uno sguardo veloce il calcolo del limite è giusto... inoltre la funzione limite è una funzione di ripartizione, quindi potrebbe starci.

Questo conclude lo studio della convergenza in distribuzione. Conoscendo la funzione di ripartizione della v.a. limite puoi calcolare (?) la sua densità e ottenere la descrizione completa.
A questo punto puoi iniziare ad andare a ritroso chiedendoti se c'è convergenza in probabilità, qc, L^1,...

[AlyAly2]

Allora la densità dovrebbe essere:
$f(t)={(0,t<=0),(e^(-t),t>0):}$
Per vedere se converge in probabilità devo vedere se vale la legge debole dei grandi numeri e posso verificarlo usando il teorema di Markov o quello di Chebychev. Ma ho un dubbio: per calcolare il valore atteso, posso calcolarlo sfruttando $ f(t)$ ? o devo calcolare il valore atteso di ogni $ T_n$ e poi fare la sommatoria?