Condizione necessaria di convergenza in legge
Ho il seguente problema:
Date le variabili aleatorie $X_n$, $X$ con funzioni di ripartizione $F_n$, $F$, e data una funzione $f>0$ continua e integrabile, allora
$\int_\mathbb{R}|F_n(x)-F(x)|\ f(x)\ dx\to 0\quad\Rightarrow\quad X_n\to X$ in legge.
Vale anche l'altra freccia, e direi che si dimostri con il teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata. Ma occupiamoci della freccia del problema...
Vediamo che se si chiama $K$ l'integrale su $\mathbb{R}$ della $f$, allora la funzione $\mu(A)=\int_A\frac{f(x)}{K}\ dx$ dovrebbe essere una probabilità e pensavo di introdurre una variabile $Y$ con legge $\mu$ e riscrivere l'ipotesi come
$E[|F_n(Y)-F(Y)|]\to 0$, cioè $F_n(Y)\to F(Y)$ in $L^1$ e quindi in probabilità... Ma non mi sembra di andare lontano per questa strada... L'idea era quella di arrivare a una convergenza delle $F_n$ al di fuori di un insieme trascurabile...
Date le variabili aleatorie $X_n$, $X$ con funzioni di ripartizione $F_n$, $F$, e data una funzione $f>0$ continua e integrabile, allora
$\int_\mathbb{R}|F_n(x)-F(x)|\ f(x)\ dx\to 0\quad\Rightarrow\quad X_n\to X$ in legge.
Vale anche l'altra freccia, e direi che si dimostri con il teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata. Ma occupiamoci della freccia del problema...
Vediamo che se si chiama $K$ l'integrale su $\mathbb{R}$ della $f$, allora la funzione $\mu(A)=\int_A\frac{f(x)}{K}\ dx$ dovrebbe essere una probabilità e pensavo di introdurre una variabile $Y$ con legge $\mu$ e riscrivere l'ipotesi come
$E[|F_n(Y)-F(Y)|]\to 0$, cioè $F_n(Y)\to F(Y)$ in $L^1$ e quindi in probabilità... Ma non mi sembra di andare lontano per questa strada... L'idea era quella di arrivare a una convergenza delle $F_n$ al di fuori di un insieme trascurabile...
Risposte
Non ti basta la convergenza in probabilità?
Tu hai $P(\omega: |F_n(Y(\omega))-F(Y(\omega))|>\epsilon)\leq \epsilon$
L'idea, sempre che funzioni è la seguente: detta $\lambda$ la misura di lebesgue, è vero che , dato $\epsilon >0$,
$\lambda(x: |F_n(x)-F(x)|>\epsilon)=P(\omega: |F_n(Y(\omega))-F(Y(\omega))|>\epsilon)$?
Per concludere dovresti usare il fatto che $Y$ +è assolutamente continue w.r.t. $\lambda$.
Non trovi?
Tu hai $P(\omega: |F_n(Y(\omega))-F(Y(\omega))|>\epsilon)\leq \epsilon$
L'idea, sempre che funzioni è la seguente: detta $\lambda$ la misura di lebesgue, è vero che , dato $\epsilon >0$,
$\lambda(x: |F_n(x)-F(x)|>\epsilon)=P(\omega: |F_n(Y(\omega))-F(Y(\omega))|>\epsilon)$?
Per concludere dovresti usare il fatto che $Y$ +è assolutamente continue w.r.t. $\lambda$.
Non trovi?
L'uguaglianza non so se è vera. Se lo è siamo effettivamente a posto, o quasi...
Stavo notando che essendo $\mu$ (la legge di $Y$) assolutamente continua rispetto a $\lambda$, concludo che se $\lambda(A_n)\to 0$ allora $\mu(A_n)\to 0$, no?
Che non è esattamente quello che vorrei io...
Stavo notando che essendo $\mu$ (la legge di $Y$) assolutamente continua rispetto a $\lambda$, concludo che se $\lambda(A_n)\to 0$ allora $\mu(A_n)\to 0$, no?
Che non è esattamente quello che vorrei io...
mmmh riguardando meglio la proposizione penso sia una cosa tutta analitica.
Infatti considera $\epsilon >0$ fissato e considera l'insieme $\{x : |F_n(x)-F(x)|> \epsilon\}=A_{\epsilon}$. Dalla tua ipotesi ottieni che esso ha misura nulla e dunque $|F_n(x)-F(x)|< \epsilon$ lebesgue-q.o. da cui... o no?
Infatti considera $\epsilon >0$ fissato e considera l'insieme $\{x : |F_n(x)-F(x)|> \epsilon\}=A_{\epsilon}$. Dalla tua ipotesi ottieni che esso ha misura nulla e dunque $|F_n(x)-F(x)|< \epsilon$ lebesgue-q.o. da cui... o no?
Allora farei cosi':
se per assurdo non convergesse esisterebbero un $x_0$ (di continuita' per $F$), una sottosuccessione di cdf (che indichero sempre con $F_n$) ed un $varepsilon>0$ tale che $|F_n(x_0)-F(x_0)|> varepsilon_o$, $forall n$.
Esistera' dunque una ulteriore sottosuccessione tale che tutti i suoi punti $F_n(x_0)$ saranno minori (o maggiori, o magari entrambe) di $F(x_0)- varepsilon_0$ (Ovviamente se $F(x_0)=0,1$ vara' solo uno dei due casi).
Per monotonia delle cdf $F_n(x)
Dunque l'integrale sara' maggiore di una ostante positiva e dunque non puo' convergere a $0$.
se per assurdo non convergesse esisterebbero un $x_0$ (di continuita' per $F$), una sottosuccessione di cdf (che indichero sempre con $F_n$) ed un $varepsilon>0$ tale che $|F_n(x_0)-F(x_0)|> varepsilon_o$, $forall n$.
Esistera' dunque una ulteriore sottosuccessione tale che tutti i suoi punti $F_n(x_0)$ saranno minori (o maggiori, o magari entrambe) di $F(x_0)- varepsilon_0$ (Ovviamente se $F(x_0)=0,1$ vara' solo uno dei due casi).
Per monotonia delle cdf $F_n(x)
Dunque l'integrale sara' maggiore di una ostante positiva e dunque non puo' convergere a $0$.
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