Come mai la probabilità diminuisce?

[olanda2000]

\(\displaystyle \)Ho usato la formula di Bernoulli per una prova ripetuta: estrarre una pallina nera da un'urna contenente 100 palline (99 bianche e 1 nera) con reimmissione della pallina estratta: l’evento indagato ha una probabilità p di verificarsi per ciascuna prova, ed effettuiamo n prove indipendenti, la probabilità che l’evento si verifichi k volte (con k ≤n) è data da
$ P(k \text{ successi su } n \text{ prove}) = ((n),(k)) p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$

Con n= 100 , k = 1 , p= 0.01 ottengo P= 0.37

Con n= 200 , k = 1 , p= 0.01 ottengo P= 0.27

Come mai diminuiscono le probabilità? Mi aspettavo che facendo 200 estrazioni la probabilità di estrarre la pallina nera aumentasse !! Grazie

[axpgn]

Più ne fai, più la "probabilità" testata si avvicina a quella teorica, non certo il contrario ...

Casomai è da capire come fanno a venirti numeri come $0.27$ e $0.37$; come le hai fatte le prove?

[olanda2000]

Ho sostituito i valori nella formula. Adesso provo con altri valori di n . ma non ho capito che la formula che uso sia quella corretta. Cioè io vorrei sapere quante estrazioni dovrei fare per avere un'alta probabilità di estrarre almeno una volta la pallina nera. Grazie

[axpgn]

"olanda2000": Cioè io vorrei sapere quante estrazioni dovrei fare per avere un'alta probabilità di estrarre almeno una volta la pallina nera. Grazie

E questo cosa sta a significare?
La probabilità "teorica" (chiamiamola così anche perché non sono certo un esperto come può confermare tommik ) di estrarre una pallina nera da un urna contenente $99$ palline bianche e $1$ nera è dell'$1%$.
E non cambia in funzione del numero di estrazioni.
Quella è.

Forse intendevi chiedere quante estrazioni, mediamente, vanno fatte, per estrarre finalmente una pallina nera.
In questo caso, per quel che ne so (poco) dovrebbero essere appunto $100$.
Ma non hai NESSUNA garanzia che prima della centesima estrazione, tu estragga la pallina nera.
E neppure dopo.
Potresti proseguire all'infinito.
Perché ad ogni estrazione la probabilità di estrarre la pallina nera è sempre dell'$1%$

[ghira1]

"olanda2000":
Come mai diminuiscono le probabilità? Mi aspettavo che facendo 200 estrazioni la probabilità di estrarre la pallina nera aumentasse !! Grazie

La probabilità di estrarre la pallina esattamente una volta diminuisce. Questo ti sorprende? Perché? Se fai 10 milia miliardi di estrazioni che probabilità c'è di estrarre la pallina esattamente una volta?

Magari vuoi calcolare $P(k>0)$, non $P(k=1)$.

Infatti in un messaggio successivo dici "Cioè io vorrei sapere quante estrazioni dovrei fare per avere un'alta probabilità di estrarre almeno una volta la pallina nera". Allora non calcolare $P(k=1)$.

[olanda2000]

"ghira":

La probabilità di estrarre la pallina esattamente una volta diminuisce. Questo ti sorprende? Perché? Se fai 10 milia miliardi di estrazioni che probabilità c'è di estrarre la pallina esattamente una volta?

Magari vuoi calcolare $P(k>0)$, non $P(k=1)$.

Avete ragione, mi era sfuggita ( anche perchè la mia fonte non la riportava) la parola "ESATTAMENTE" una volta.
Quindi se volessi calcolare $P(k>0)$ devo fare la sommatoria a mano per ogni k ?

Grazie

[ghira1]

"olanda2000":
Quindi se volessi calcolare $P(k>0)$ devo fare la sommatoria a mano per ogni k ?

No.

[Lo_zio_Tom]

"olanda2000":
Quindi se volessi calcolare $P(k>0)$ devo fare la sommatoria a mano per ogni k ?

No, basta fare

$1-P(X=0)$

[Quinzio]

"olanda2000":
Come mai diminuiscono le probabilità? Mi aspettavo che facendo 200 estrazioni la probabilità di estrarre la pallina nera aumentasse !! Grazie

La distribuzione che descrive questo processo e' molto nota e ha un nome: la binomiale.
La funzione di densita' non diminuisce sempre, ma ha un massimo, come si vede bene qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_binomiale