Combinazione lineare di variabili aleatorie
Buongiorno
Sto provando a fare degli esercizi nei quali, a partire da due v.a. congiuntamente gaussiane, delle quali mi vengono fornite media e varianza ed il coefficiente di correlazione, devo determinare alcune cose riguardo una loro combinazione lineare $Z=aX+-bY$
So che, per quanto riguarda media e varianza, $E[Z]=aE[X]+bE[Y]$ e $Var[Z]=a^2Var[X]+b^2Var[Y]$
C'è una formula anche per la pdf di £Z£?
E se devo esprimere attraverso la funzione $Q(\cdot)$ la $Pr\{abs(Z)>k\}$?
Ho provato a cercare qualche dispensa teorica o qualche esempio o esercizio svolto online ma non sono riuscita a trovare niente.
Potreste aiutarmi? Anche indicandomi dovrei potrei trovare qualche dispensa per approfondire l'argomento?
Grazie in anticipo
Sto provando a fare degli esercizi nei quali, a partire da due v.a. congiuntamente gaussiane, delle quali mi vengono fornite media e varianza ed il coefficiente di correlazione, devo determinare alcune cose riguardo una loro combinazione lineare $Z=aX+-bY$
So che, per quanto riguarda media e varianza, $E[Z]=aE[X]+bE[Y]$ e $Var[Z]=a^2Var[X]+b^2Var[Y]$
C'è una formula anche per la pdf di £Z£?
E se devo esprimere attraverso la funzione $Q(\cdot)$ la $Pr\{abs(Z)>k\}$?
Ho provato a cercare qualche dispensa teorica o qualche esempio o esercizio svolto online ma non sono riuscita a trovare niente.
Potreste aiutarmi? Anche indicandomi dovrei potrei trovare qualche dispensa per approfondire l'argomento?
Grazie in anticipo
Risposte
La soluzione relativa alla varianza dovrebbe essere:
\( Var(z) = Var(aX+bY) = Var(aX)+Var(bY)+2Cov(aX,bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2ab Cov(X,Y) \)
applicando le prorpietà di varianza e covarianza.
\( Var(z) = Var(aX+bY) = Var(aX)+Var(bY)+2Cov(aX,bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2ab Cov(X,Y) \)
applicando le prorpietà di varianza e covarianza.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo