[Combinatoria] Sottoinsiemi e prodotti
Sia $ X={1,2,3,...,1000} $ . Trova il numero di sottoinsiemi di 2 elementi $ {a,b} $ di $ X $ tali che il prodotto $ a \cdot b $ è divisibile per 5.
Il mio tentativo: $ a \cdot b $ è divisibile per 5 se almeno uno tra $ a $ e $ b $ è divisibile per 5.
Calcolo quanti numeri sono divisibili per 5 (da 1 a 1000) : 201 .
Rimangono 799 numeri (quelli non divisibili per 5).
Quindi il numero cercato è: 799 $ \cdot $ 201 (num. di sottoinsiemi nei quali un elemento è divisibile per 5 e l'altro no) + $ ( (201), (2) ) $ ( num. di sottoinsiemi nei queli entrambi gli elementi sono divisibili per 5) = 180699 .
Il testo fornisce come risultato 179900.
Dove sbaglio? Suggerimenti?
Il mio tentativo: $ a \cdot b $ è divisibile per 5 se almeno uno tra $ a $ e $ b $ è divisibile per 5.
Calcolo quanti numeri sono divisibili per 5 (da 1 a 1000) : 201 .
Rimangono 799 numeri (quelli non divisibili per 5).
Quindi il numero cercato è: 799 $ \cdot $ 201 (num. di sottoinsiemi nei quali un elemento è divisibile per 5 e l'altro no) + $ ( (201), (2) ) $ ( num. di sottoinsiemi nei queli entrambi gli elementi sono divisibili per 5) = 180699 .
Il testo fornisce come risultato 179900.
Dove sbaglio? Suggerimenti?
Risposte
Ho un insieme di 1000 (M) numeri, i non multipli sono 799 (nm) e i multipli 201 (m). Uso la formula di estrazione da un'urna con n=2 e k=2:
$P=(((nm),(k))*((m),(n-k)))/(((M),(n)))=0,638...$ e questa è la probabilità che estragga due numeri non multipli di cinque, da cui la probabilità di estrarne almeno uno multiplo: $1-0,638...=0,361...$
$P=(((nm),(k))*((m),(n-k)))/(((M),(n)))=0,638...$ e questa è la probabilità che estragga due numeri non multipli di cinque, da cui la probabilità di estrarne almeno uno multiplo: $1-0,638...=0,361...$
l'errore è nel numero dei multipli di 5, che sono 200 e non 201.
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