Coefficiente di una v.a. composta

[bellrodo]

Siano $X ~ \Gamma (0.8 , 2)$ ed $Y ~ \Gamma (1.6 , 3)$ tra loro indipendenti.
Siano $Z=X+Y,W=XY$.

$a)$ Calcolare $Var(Z)$ e $Var(W)$;
$b)$ Calcolare il coefficiente di correlazione tra $Z$ e $W$.

Allora, per quanto riguarda il punto $a)$:

$E(X)=1.6$ ; $E(X^2)=5.76$ ; $Var(X)=3.2$ ;
$E(Y)=4.8$ ; $E(Y^2)=37.44$ ; $Var(Y)=14,4$ .

Quindi:

$Var(Z)=Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=17.6$ ;
$Var(W)=Var(XY)=E(X^2)E(Y^2)-E^2(X)E^2(Y)=156.67$

Corretto?

Per quanto riguarda il punto $b)$ so che il coefficiente di correlazione:

$p_(Z,W)=(Cov(Z,W))/(sqrt(Var(Z))sqrt(Var(W)))$

e che:

$Cov(Z,W)=E(ZW)+E(Z)E(W)$

ma non so come calcolare $E(ZW)+E(Z)E(W)$
Per caso esiste qualche teorema che mi garantisce l'indipendenza delle v.a. $Z$ e $W$ così che $Cov(Z,W)=0$?

[Lo_zio_Tom]

L'esercizio è impostato bene! Per il secondo punto, a parte un errore di segno, sostituendo trovi che

$Cov (Z,W)=E [(X+Y)XY]-E(X+Y)E (XY) $

...e quindi non dovresti avere problemi perché il modus operandi è identico al punto precedente.

Purtroppo non so dirti se i calcoli sono corretti perché la $Gamma $ ha diverse parametrizzazioni. Io , ad esempio, sono abituato a questa:

$f (x)=theta^n/( Gamma (n)) x^(n-1) e^(-thetax) $

..e con questa forma i tuoi risultati sarebbero errati.. Quindi specifica anche parametrizzazioni usi...

[bellrodo]

Ciao tommik, innanzitutto grazie ancora per il tuo aiuto

"tommik":Purtroppo non so dirti se i calcoli sono corretti perché la $Gamma $ ha diverse parametrizzazioni.

La parametrizzazione che ho usato è la seguente:

$f(x)=(x^(\alpha-1)e^(-(x)/(\beta)))/(\beta^(\alpha)\Gamma(\alpha))$.

Per il secondo punto, sbaglio se sfrutto le proprietà in questo modo?

$Cov(Z,W)=E[(X+Y)XY]-E(X+Y)E(XY)=$

$E(X^2 Y+X Y^2)-[E(X)+E(Y)][E(X)E(Y)]=$

$E(X^2 Y)+ E(X Y^2)-[E(X)+E(Y)][E(X)E(Y)]=$

$E(X^2)E(Y)+E(X)E(Y^2)-[E(X)+E(Y)][E(X)E(Y)]=$

$5.76*4.8+1.6*37.4-(1.6+4.8)(1.6*4.8)= 38,21$.

Quindi il coefficiente di correlazione sara:

$p_(Z,W)=(38.21)/(52.46)=0.73$

Grazie ancora!