Chiarimento formula densità di una normale multivariata
Oggi domanda doppia per recuperare i giorni passati 
La funzione di densità è della normale multivariata è:
$f(x)=(2π)^−k/2*|Σ|^−1/2* exp(-1/2(x − µ)'Σ^−1(x − µ))$
Ma qualcuno mi spiega il significato di $|Σ|^−1/2$? Che cos'è? Il determinante elevato alla 1/2 della matrice var-cov? Il determinante della matrice var-cov dopo essere stata elevata alla 1/2? Qualcos'altro? Boh, il professore si diverte a far studiare slide che non spiega
La funzione di densità è della normale multivariata è:
$f(x)=(2π)^−k/2*|Σ|^−1/2* exp(-1/2(x − µ)'Σ^−1(x − µ))$
Ma qualcuno mi spiega il significato di $|Σ|^−1/2$? Che cos'è? Il determinante elevato alla 1/2 della matrice var-cov? Il determinante della matrice var-cov dopo essere stata elevata alla 1/2? Qualcos'altro? Boh, il professore si diverte a far studiare slide che non spiega
Risposte
E' la radice del determinante della matrice di covarianza. Chiamo $C$ tale matrice.
La dimostrazione che porta a quella formula non è difficile (usa il thm. del cambio di variabile). Il fatto che compaia il termine $sqrt(det(C))$ segue dalla regola di Binet (algebra lineare) e dal fatto che $A^2=C$.
Infatti $(det(A))^2 = det(C)$ da cui l'uguaglianza voluta.
La dimostrazione che porta a quella formula non è difficile (usa il thm. del cambio di variabile). Il fatto che compaia il termine $sqrt(det(C))$ segue dalla regola di Binet (algebra lineare) e dal fatto che $A^2=C$.
Infatti $(det(A))^2 = det(C)$ da cui l'uguaglianza voluta.
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