Chiarimenti probabilità
Ciao a tutti,
mi sono iscritto a questo forum perché è da tutto il giorno che cerco di risolvere un piccolo "rompicapo". Premetto che faccio al seconda superiore in un istituto tecnico (studio informatica), quindi non abbiamo ancora toccato questi argomenti e non so nemmeno se mai lo faremo.
Vi spiego il mio problema:
stamattina ero sull'autobus e sono saliti due controllori. Probabilmente era il sonno che mi faceva vagare la mente e ho iniziato a pensare un metodo abbastanza scientifico, matematico per evitare di prendere la multa.
La prima cosa che ho pensato è stata questa:
Non sappiamo quanti controllori e autobus ci siano in giro e non sappiamo nemmeno con che criterio decidano di salire, per questo mi conviene generalizzare un po'; immaginiamo una città perfetta dove c'è una possibilità su 10 che un controllore salga sull'autobus. Quando salgono ovviamente non tengono conto del fatto che siano già saliti o meno i controllori. Potremmo immaginarci una fermata con 10 autobus in coda e i controllori decideranno di salire, scegliendolo casualmente, su uno di essi.
A questo punto potremmo dire che ogni caso è indipendente dal precedente, quindi il fatto che i controllori siano saliti alla fermata prima non ci da più sicurezza, in quanto anche alla fermata successiva avremo una possibilità su 10 che salgano di nuovo.
Ora però entra in gioco il mio piccolo dilemma. Se consideriamo due casi alla volta, abbiamo una possibilità su 100 che salgano i controllori da due fermate consecutive.
Seguendo questa ultima considerazione, ho concluso che solo 1 volta su 100 due controllori salgono da due fermate successive, quindi il fatto di vederli salire ci può rendere più tranquilli, perché per beccarli anche alla fermata seguente dovremmo essere proprio sfortunati e rientrare in quell'1% di possibilità.
Ho evidenziato le due "opinioni" che a mio parere sembrano contrastare tra loro, almeno per le conclusioni. Nel primo caso dobbiamo restare in allerta, nel secondo possiamo tranquillizzarci vedendo salire i controllori a una fermata. Quale delle due è giusta?
Grazie mille in anticipo, spero che riusciate a chiarirmi questa cosa perché sto praticamente impazzendo!
mi sono iscritto a questo forum perché è da tutto il giorno che cerco di risolvere un piccolo "rompicapo". Premetto che faccio al seconda superiore in un istituto tecnico (studio informatica), quindi non abbiamo ancora toccato questi argomenti e non so nemmeno se mai lo faremo.
Vi spiego il mio problema:
stamattina ero sull'autobus e sono saliti due controllori. Probabilmente era il sonno che mi faceva vagare la mente e ho iniziato a pensare un metodo abbastanza scientifico, matematico per evitare di prendere la multa.
La prima cosa che ho pensato è stata questa:
Non sappiamo quanti controllori e autobus ci siano in giro e non sappiamo nemmeno con che criterio decidano di salire, per questo mi conviene generalizzare un po'; immaginiamo una città perfetta dove c'è una possibilità su 10 che un controllore salga sull'autobus. Quando salgono ovviamente non tengono conto del fatto che siano già saliti o meno i controllori. Potremmo immaginarci una fermata con 10 autobus in coda e i controllori decideranno di salire, scegliendolo casualmente, su uno di essi.
A questo punto potremmo dire che ogni caso è indipendente dal precedente, quindi il fatto che i controllori siano saliti alla fermata prima non ci da più sicurezza, in quanto anche alla fermata successiva avremo una possibilità su 10 che salgano di nuovo.
Ora però entra in gioco il mio piccolo dilemma. Se consideriamo due casi alla volta, abbiamo una possibilità su 100 che salgano i controllori da due fermate consecutive.
Seguendo questa ultima considerazione, ho concluso che solo 1 volta su 100 due controllori salgono da due fermate successive, quindi il fatto di vederli salire ci può rendere più tranquilli, perché per beccarli anche alla fermata seguente dovremmo essere proprio sfortunati e rientrare in quell'1% di possibilità.
Ho evidenziato le due "opinioni" che a mio parere sembrano contrastare tra loro, almeno per le conclusioni. Nel primo caso dobbiamo restare in allerta, nel secondo possiamo tranquillizzarci vedendo salire i controllori a una fermata. Quale delle due è giusta?
Grazie mille in anticipo, spero che riusciate a chiarirmi questa cosa perché sto praticamente impazzendo!
Risposte
Se alla prima fermata sale un controllore sul tuo bus, alla seconda fermata hai $1/10$ di probabilità che l'altro controllore salga ancora sul tuo bus (infatti il secondo controllore indipendentemente da dove è andato il priomo, ha a disposizione 10 possibili bus, tutti equiprobabili).
Il tuo dubbio nasce da questa riformulazione: qual è la probabilità che sul mio bus salga sia il controllore della prima fermata che il controllore della seconda? Ecco, in questo caso la probabilità cercata è effettivamente $P=1/10*1/10=1/100$.
Qual è la differenza? Nel secondo caso puoi immaginare di non essere ancora partito e ti chiedi quale sia la probabilità di beccarlo sia alla prima che alla seconda; nel primo caso invece tu hai già superato la prima fermata e quindi non devi più considerare la probabilità che salga il controllore alla prima fermata: perchè è un evento certo (è già accaduto).
Il primo caso si puó generalizzare in questo modo: ho appena fatto l $n$-esima fermata ed è salito il controllore. Allora la probabilità che il controllore salga anche alla prossima ($n+1$-esima fermata) è pari a $1/10$.
Il secondo caso si puó generalizzare in questo modo: devo ancora fare la $k$-esima fermata (con $k<=n$) e mi chiedo qual è la probabilità che sia alla $n$-esima, che alla $n+1$-esima fermata salga il controllore. La probabilità cercata è dunque $1/100$.
Ps: fai il biglietto in ogni caso
Il tuo dubbio nasce da questa riformulazione: qual è la probabilità che sul mio bus salga sia il controllore della prima fermata che il controllore della seconda? Ecco, in questo caso la probabilità cercata è effettivamente $P=1/10*1/10=1/100$.
Qual è la differenza? Nel secondo caso puoi immaginare di non essere ancora partito e ti chiedi quale sia la probabilità di beccarlo sia alla prima che alla seconda; nel primo caso invece tu hai già superato la prima fermata e quindi non devi più considerare la probabilità che salga il controllore alla prima fermata: perchè è un evento certo (è già accaduto).
Il primo caso si puó generalizzare in questo modo: ho appena fatto l $n$-esima fermata ed è salito il controllore. Allora la probabilità che il controllore salga anche alla prossima ($n+1$-esima fermata) è pari a $1/10$.
Il secondo caso si puó generalizzare in questo modo: devo ancora fare la $k$-esima fermata (con $k<=n$) e mi chiedo qual è la probabilità che sia alla $n$-esima, che alla $n+1$-esima fermata salga il controllore. La probabilità cercata è dunque $1/100$.
Ps: fai il biglietto in ogni caso
Vorrei inoltre precisare una cosa: la differenza tra la probabilità che un evento accada due volte di fila o la probabilità che un evento accada esattamente la prima e la seconda volta.
Esempio: lancio 3 volte una moneta. Le possibili combinazioni sono:
ttt ttc tct tcc ctt ctc cct ccc
La probabilità di avere testa sia al primo che al secondo lancio (equivalente alla probabilità di averla sia al secondo che al terzo) è di $2/8=1/4$. Mentre la probabilità di avere due teste di fila è $3/8$ che tende ad $1$ all'aumentare dei lanci.
Esempio: lancio 3 volte una moneta. Le possibili combinazioni sono:
ttt ttc tct tcc ctt ctc cct ccc
La probabilità di avere testa sia al primo che al secondo lancio (equivalente alla probabilità di averla sia al secondo che al terzo) è di $2/8=1/4$. Mentre la probabilità di avere due teste di fila è $3/8$ che tende ad $1$ all'aumentare dei lanci.
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