Chi fa il caffè oggi?
buongiorno a tutti,
è la prima volta che scrivo in questo forum. l'ho scoperto oggi mentre giravo su internet per trovare una risposta ad un quesito che da tempo, in pausa caffè, è oggetto di accesi dibattiti tra i colleghi. Vi spiego.
Per decidere chi fa il caffè ogni giorno facciamo un'estrazione: chi estrae il bastoncino da caffè corto su N bastoncini (con N il numero dei bastoncini e dei partecipanti all'estrazione) fa il caffè. Ci chiedevamo se fosse conveniente estrarre per primi, per ultimi o in quale posizione intermedia. A mio avviso il problema richiede qualche calcoletto di probabilità condizionata, che purtroppo pur avendo fatto un esame di statistica non ricordo bene.
Mi potreste dare una mano? Preciso che l'estrazione avviene estraendo uno per volta fino a che qualcuno non prende il bastoncino corto. Esempio: 10 bastoncini normali e 1 spezzato. L'estrazione avviene senza reinserimento del bastoncino estratto.
Vi ringrazio e complimenti per il forum.
un saluto
è la prima volta che scrivo in questo forum. l'ho scoperto oggi mentre giravo su internet per trovare una risposta ad un quesito che da tempo, in pausa caffè, è oggetto di accesi dibattiti tra i colleghi. Vi spiego.
Per decidere chi fa il caffè ogni giorno facciamo un'estrazione: chi estrae il bastoncino da caffè corto su N bastoncini (con N il numero dei bastoncini e dei partecipanti all'estrazione) fa il caffè. Ci chiedevamo se fosse conveniente estrarre per primi, per ultimi o in quale posizione intermedia. A mio avviso il problema richiede qualche calcoletto di probabilità condizionata, che purtroppo pur avendo fatto un esame di statistica non ricordo bene.
Mi potreste dare una mano? Preciso che l'estrazione avviene estraendo uno per volta fino a che qualcuno non prende il bastoncino corto. Esempio: 10 bastoncini normali e 1 spezzato. L'estrazione avviene senza reinserimento del bastoncino estratto.
Vi ringrazio e complimenti per il forum.
un saluto
Risposte
Penso che non ci sia alcun calcolo da fare.... è solo questione di ....
è un facile gioco modellizzabile tramite catene di Markov a mio parere 
(il cammino aleatorio su un grafo si può fare semplicemente) a quel punto hai una matrice stocastica e puoi trarre delle conclusioni. Ovviamente devi vedere il discorso usando le speranze.
Ora sinceramente i conti non gli ho fatti, però su due piedi potrei dirti questa strada (qui sul forum è un casino scriverle essendo che non so se è possibile inserire grafi, non penso)...
esempio per divertirsi usando una linea alternativa (a caso ):
se $N=3$ hai, per il primo estrattore, probabilità uguale a $1/3$ di perdere e $2/3$ di vincere, se il primo vince il secondo ha $1/2$ e $1/2$ e, se il secondo vince, il terzo perde sicuramente (essendo rimasto un solo bastone).
dunque, senza fare conti con grande probabilità di sbagliare dico: il primo vince con prob. $2/3$, il secondo con $1/3*1/2$ (o perde il primo o si salva lui) e il terzo con $1/3*1/2$ (perde il primo o il secondo)
(il cammino aleatorio su un grafo si può fare semplicemente) a quel punto hai una matrice stocastica e puoi trarre delle conclusioni. Ovviamente devi vedere il discorso usando le speranze.Ora sinceramente i conti non gli ho fatti, però su due piedi potrei dirti questa strada (qui sul forum è un casino scriverle essendo che non so se è possibile inserire grafi, non penso)...
esempio per divertirsi usando una linea alternativa (a caso
):se $N=3$ hai, per il primo estrattore, probabilità uguale a $1/3$ di perdere e $2/3$ di vincere, se il primo vince il secondo ha $1/2$ e $1/2$ e, se il secondo vince, il terzo perde sicuramente (essendo rimasto un solo bastone).
dunque, senza fare conti con grande probabilità di sbagliare dico: il primo vince con prob. $2/3$, il secondo con $1/3*1/2$ (o perde il primo o si salva lui) e il terzo con $1/3*1/2$ (perde il primo o il secondo)
scusami fu^2 ma non mi è molto chiara la risposta che mi hai dato. potresti ripetermi i tuoi calcoli ad esempio con 4 bastoncini lunghi ed 1 corto?
provo io:
L bastoncino lungo
C bastoncino corto
I estrazione: probabilità di estrarre C=1/5;
II estrazione: se C non è stato estratto alla I estrazione la probabilità di estrarre C=1/4*1/5;
III estrazione: se C non è stato estratto alla I-II estrazione la probabilità di estrarre C=1/3*1/4*1/5;
IV estrazione: se C non è stato estratto alla I-II-III estrazione la probabilità di estrarre C=1/2*1/3*1/4*1/5;
quindi è più probabile "salvarsi" estraendo alla fine o ancora meglio facendo il "mazziere" ossia colui che tiene in mano i bastoncini e perde solo se gli rimane in mano il bastoncino corto?
provo io:
L bastoncino lungo
C bastoncino corto
I estrazione: probabilità di estrarre C=1/5;
II estrazione: se C non è stato estratto alla I estrazione la probabilità di estrarre C=1/4*1/5;
III estrazione: se C non è stato estratto alla I-II estrazione la probabilità di estrarre C=1/3*1/4*1/5;
IV estrazione: se C non è stato estratto alla I-II-III estrazione la probabilità di estrarre C=1/2*1/3*1/4*1/5;
quindi è più probabile "salvarsi" estraendo alla fine o ancora meglio facendo il "mazziere" ossia colui che tiene in mano i bastoncini e perde solo se gli rimane in mano il bastoncino corto?
ehm... così i calcoli he hai fatto sono sbagliati... (la somma deve fare uno quantomeno...) prova a rifarli, utilizzando in tutti i passaggi la logica del si "salva". Tu hai fatto un allegro mix delle due...
Io avrei detto all'inizio che l'ordine non conta nulla (non vedo come possa ....), però sono abbastanza a digiuno di probabilità.
Seguiamo allora il discorso di $fu^2$. Mettiamo che ci siano $N$ persone. Diciamo che si sono messi d'accordo sull'ordine di estrazione e vediamo quali
sono le probabilità di ciascuno.
Arriva il primo e sceglie un bastoncino. Chiaramente ha probabiltà $1/N$ di estrarre il bastoncino corto.
Prendiamo il secondo della lista. L'incombenza di preparare il caffè toccherà a lui se:
1) al primo è andata bene (probabilità $\frac{N-1}{N}$)
2) pesca il bastoncino corto tra gli $N-1$ bastoncini rimasti
Quindi la probabilità che gli vada male è $\frac{N-1}{N}\frac{1}{N-1}=\frac{1}{N}$. Inoltre la probabilità che vada bene sia al primo che al secondo è $1-2/N=\frac{N-2}{N}$.
Passiamo al terzo - gli va male se
1) è andata bene ai primi due
2) pesca il bastoncino corto tra gli $N-2$ rimasti
Dunque la sua probabilità è $\frac{N-2}{N}\frac{1}{N-2}=1/N$ e quella che sia andata bene a tutti i primi tre è $1-3/N=\frac{N-3}{N}$
Continuando così vedi che ognuno ha probabilità $1/N$ di dover preparare il caffè, indipendentemente dal posto in lista.
Seguiamo allora il discorso di $fu^2$. Mettiamo che ci siano $N$ persone. Diciamo che si sono messi d'accordo sull'ordine di estrazione e vediamo quali
sono le probabilità di ciascuno.
Arriva il primo e sceglie un bastoncino. Chiaramente ha probabiltà $1/N$ di estrarre il bastoncino corto.
Prendiamo il secondo della lista. L'incombenza di preparare il caffè toccherà a lui se:
1) al primo è andata bene (probabilità $\frac{N-1}{N}$)
2) pesca il bastoncino corto tra gli $N-1$ bastoncini rimasti
Quindi la probabilità che gli vada male è $\frac{N-1}{N}\frac{1}{N-1}=\frac{1}{N}$. Inoltre la probabilità che vada bene sia al primo che al secondo è $1-2/N=\frac{N-2}{N}$.
Passiamo al terzo - gli va male se
1) è andata bene ai primi due
2) pesca il bastoncino corto tra gli $N-2$ rimasti
Dunque la sua probabilità è $\frac{N-2}{N}\frac{1}{N-2}=1/N$ e quella che sia andata bene a tutti i primi tre è $1-3/N=\frac{N-3}{N}$
Continuando così vedi che ognuno ha probabilità $1/N$ di dover preparare il caffè, indipendentemente dal posto in lista.
"fu^2":
dunque, senza fare conti con grande probabilità di sbagliare dico: il primo vince con prob. $2/3$, il secondo con $1/3*1/2$ (o perde il primo o si salva lui) e il terzo con $1/3*1/2$ (perde il primo o il secondo)
Tralasciando i calcoli, mi spieghi perchè il secondo ed il terzo avrebbero una probabilità diversa rispetto il primo ?
perhè gli ho sbagliati 
ho tralasciato dei pezzi e mescolato, la sera non devo dire nulla.
sarebbe il primo $2/3$
il secondo $1/3+2/3*1/2=2/3$ (il primo perde, il secondo vince se il primo vince)
il terzo $1/3+2/3*1/2$ (il primo perde, il primo vince e il secondo perde)
ovviamente, se al posto di far il brillante e ragionare al volo mi fidassi di un procedimento logico basato sulle probabilità condizionate avrei fatto meno casino.
ho tralasciato dei pezzi e mescolato, la sera non devo dire nulla.sarebbe il primo $2/3$
il secondo $1/3+2/3*1/2=2/3$ (il primo perde, il secondo vince se il primo vince)
il terzo $1/3+2/3*1/2$ (il primo perde, il primo vince e il secondo perde)
ovviamente, se al posto di far il brillante e ragionare al volo mi fidassi di un procedimento logico basato sulle probabilità condizionate avrei fatto meno casino.
Ecco perchè avevo scritto "è solo questione di ....",
nel senso che le % son tutte uguali. (Primo, Ultimo, Centrale....)
nel senso che le % son tutte uguali. (Primo, Ultimo, Centrale....)
"Umby":
Tralasciando i calcoli, mi spieghi perchè il secondo ed il terzo avrebbero una probabilità diversa rispetto il primo ?
Era quello che mi chiedevo anch' io, anche se non ritengo ovvia la risposta (nel senso che tutte queste questioni di probabilità per me sono insidiose)
Non conta nulla, è come dire quale è la probabilità nel lotto che la terza estratta sia il 5. Se non abbiamo informazioni sulle prime due rimane uguale.
Se vuoi dare una giustificazione euristica vedila così: se mi trovo in una posizione di mezzo e devo estrarre la probabilità di prendere quello sfigato aumenta (rispetto ai precedenti) perchè ci sono me bastoncini sani. Questo però viene compensato dal fatto che qualcuno prima di me lo può pescare.
Se vuoi dare una giustificazione euristica vedila così: se mi trovo in una posizione di mezzo e devo estrarre la probabilità di prendere quello sfigato aumenta (rispetto ai precedenti) perchè ci sono me bastoncini sani. Questo però viene compensato dal fatto che qualcuno prima di me lo può pescare.
scusate ragazzi. ringraziandovi per l'impegno profuso per rispondermi ho però ancora molti dubbi visto che pur dicendo entrambi che la probabilità è la stessa (ma non mi convince) uno la calcola in un modo e un altro in un altro modo. definisco un esempio univoco:
Tot. bastoncini 5 di cui 4 interi ed 1 spezzato.
Si calcola la probabilità di fare il caffè (perdere) estraendo per I, II, III, IV o che rimanga in mano al "porta bastoncini".
Il bastoncino NON viene rimesso nel mazzo, ossia se il primo estre il bastoncino lungo se lo tiene e il gioco va avanti fino a che uno non estrae il corto, o rimane in mano al mazziere.
Grazie per l'aiuto...magari oggi risco a scamparla!
Tot. bastoncini 5 di cui 4 interi ed 1 spezzato.
Si calcola la probabilità di fare il caffè (perdere) estraendo per I, II, III, IV o che rimanga in mano al "porta bastoncini".
Il bastoncino NON viene rimesso nel mazzo, ossia se il primo estre il bastoncino lungo se lo tiene e il gioco va avanti fino a che uno non estrae il corto, o rimane in mano al mazziere.
Grazie per l'aiuto...magari oggi risco a scamparla!
Lo hai detto te all'inizio devi usare le probabilità condizionate.
Chiama $A_i$ l'evento $i$ fai il caffe per $i=1,...,5$.
$P(A_1)=1/5$.
Il secondo fa il caffe se il primo non lo fa ed il secondo pesca quello brutto, ovvero $A_2=A_1^c\ nn\ A_2$
$P(A_2)=P(A_1^c\ nn\ A_2)=P(A_1^c)\ P(A_2|A_1^c)=4/5\ 1/4 =1/5$
$P(A_3)=...=4/5\ 3/4\ 1/3=1/5
$P(A_4)=...=4/5\ 3/4\ 2/3\ 1/2=1/5$
$P(A_5)=...=4/5\ 3/4\ 2/3\ 1/2\ 1=1/5$
Chiama $A_i$ l'evento $i$ fai il caffe per $i=1,...,5$.
$P(A_1)=1/5$.
Il secondo fa il caffe se il primo non lo fa ed il secondo pesca quello brutto, ovvero $A_2=A_1^c\ nn\ A_2$
$P(A_2)=P(A_1^c\ nn\ A_2)=P(A_1^c)\ P(A_2|A_1^c)=4/5\ 1/4 =1/5$
$P(A_3)=...=4/5\ 3/4\ 1/3=1/5
$P(A_4)=...=4/5\ 3/4\ 2/3\ 1/2=1/5$
$P(A_5)=...=4/5\ 3/4\ 2/3\ 1/2\ 1=1/5$
grazie Dajeforte...ora mi sembra di aver capito...purtroppo ho capito anche che non possibilità di "vincere" più facilmente.
ciao
ciao
De nada.
ciao ragazzi.
volevi dirvi che oggi ho estratto un bastoncino lungo, quindi niente caffè da preparare a tutti. Però come spesso accade a fare il caffè è stato un collega che ha estratto per IV su 9 persone, ossia all'incirca metà. Ho notato però (ormai facciamo questo gioco da mesi) che molto difficilmente perde chi estrae per primo o il mazziere. Siamo proprio sicuri che sia equiprobabile? non potrebbe invece essere più complicata la questione? io pensavo più ad una distribuzione tipo Gauss...meno probabile agli estremi e piu probabile al centro...
sto dicendo fesserie totalmente o potrebbe esserci qualche aspetto che ci è sfuggito nei calcoli?
volevi dirvi che oggi ho estratto un bastoncino lungo, quindi niente caffè da preparare a tutti. Però come spesso accade a fare il caffè è stato un collega che ha estratto per IV su 9 persone, ossia all'incirca metà. Ho notato però (ormai facciamo questo gioco da mesi) che molto difficilmente perde chi estrae per primo o il mazziere. Siamo proprio sicuri che sia equiprobabile? non potrebbe invece essere più complicata la questione? io pensavo più ad una distribuzione tipo Gauss...meno probabile agli estremi e piu probabile al centro...
sto dicendo fesserie totalmente o potrebbe esserci qualche aspetto che ci è sfuggito nei calcoli?
"arketettie":
sto dicendo fesserie totalmente o potrebbe esserci qualche aspetto che ci è sfuggito nei calcoli?
Ti sfuggono due particolari:
1) Devi prendere almeno un centinaio, o un migliaio di caffè per verificare il tutto.
2) Non puoi da un lato parlare di una posizione specifica (ovvero il primo e/o l'ultimo), e dall'altra considerare tutto il resto.
"arketettie":
ciao ragazzi.
volevi dirvi che oggi ho estratto un bastoncino lungo, quindi niente caffè da preparare a tutti. Però come spesso accade a fare il caffè è stato un collega che ha estratto per IV su 9 persone, ossia all'incirca metà. Ho notato però (ormai facciamo questo gioco da mesi) che molto difficilmente perde chi estrae per primo o il mazziere. Siamo proprio sicuri che sia equiprobabile? non potrebbe invece essere più complicata la questione? io pensavo più ad una distribuzione tipo Gauss...meno probabile agli estremi e piu probabile al centro...
sto dicendo fesserie totalmente o potrebbe esserci qualche aspetto che ci è sfuggito nei calcoli?
Beh riconoscerai che almeno la prima estrazione ha una descrizione chiara, e cioè $1/9$ di beccare il bastoncino corto e $8/9$ di prenderne uno lungo (considero $N=9$ come nel caso concreto). Nella tua esperienza il primo "la scampa" più di una volta su $9$ ? Se sì dovresti trovarlo strano anche tu. Anche se, come dice Umby, bisognerebbe esaminare almeno un centinaio di casi prima di pronunciarsi.
Poi può darsi che ci stia sfuggendo qualcosa, nella "modellizzazione" . Siamo sicuri che i bastoncini siano tutti eguali? (magari qualcuno di quelli lunghi tende ad essere pescato prima a causa di qualche sua strana caratteristica) oppure che il mazziere non adotti qualche fine strategia psicologica
per "far pescare" il corto a qualcuno prima di lui (cosa che io tentavo sempre di fare da piccolo quando giocavo alla "vecia pampaluga" - vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Asino_%28gioco_di_carte%29 e nota le strategie di gioco ).Ehi non volevo seminare il sospetto in ufficio
.....
Se vuoi fare le cose 'unfair' proponi una roulette russa 
In parole povere, il trucchetto per far sbilanciare le probabilità a sfavore del primo che pesca, è quello di fare estrazioni con reimmissione.
In parole povere, il trucchetto per far sbilanciare le probabilità a sfavore del primo che pesca, è quello di fare estrazioni con reimmissione.
non ci sono dubbi sulla regolarità dell'estrazione (il mazziere è persona integerrima) e i bastoncini sono tutti uguali (usiamo le palettine per girare lo zucchero nel caffè). devo iniziare a fare un report di ogni estrazione per fare poi un studio. da domani prendo nota. intanto continuo ad aspettare altri contributi illuminanti.
ciao
ciao
"arketettie":
non ci sono dubbi sulla regolarità dell'estrazione (il mazziere è persona integerrima) e i bastoncini sono tutti uguali (usiamo le palettine per girare lo zucchero nel caffè). devo iniziare a fare un report di ogni estrazione per fare poi un studio. da domani prendo nota. intanto continuo ad aspettare altri contributi illuminanti.
ciao
Spero tu non abbia presa come offensiva la mia battuta sul mazziere - se no scusa
.Invece di prendere nota delle estrazioni quotidiane potresti fare quest'altro esperimento. Prendi nove carte da un mazzo (o un numero qualsiasi a seconda del numero di persone che vuoi simulare) e decidi che una di queste è quella cattiva - il bastoncino corto (se usi le carte padovane devi scegliere il fante di spade!). Mescola le carte e
girale una alla volta. Quando esce la carta cattiva prendi nota della posizione in cui è uscita. Ripeti il gioco un congruo numero di volete (in un'oretta dovresti esserti già fatto un'idea) e vedi come si distribuiscono in percentuale le posizioni. Secondo me queste risulteranno distribuite uniformemente ( $1/9$ delle volte la "vecia" uscirà per prima, $1/9$ per seconda e così via). Se lo fai facci sapere.
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