Chi fa il caffè oggi?
buongiorno a tutti,
è la prima volta che scrivo in questo forum. l'ho scoperto oggi mentre giravo su internet per trovare una risposta ad un quesito che da tempo, in pausa caffè, è oggetto di accesi dibattiti tra i colleghi. Vi spiego.
Per decidere chi fa il caffè ogni giorno facciamo un'estrazione: chi estrae il bastoncino da caffè corto su N bastoncini (con N il numero dei bastoncini e dei partecipanti all'estrazione) fa il caffè. Ci chiedevamo se fosse conveniente estrarre per primi, per ultimi o in quale posizione intermedia. A mio avviso il problema richiede qualche calcoletto di probabilità condizionata, che purtroppo pur avendo fatto un esame di statistica non ricordo bene.
Mi potreste dare una mano? Preciso che l'estrazione avviene estraendo uno per volta fino a che qualcuno non prende il bastoncino corto. Esempio: 10 bastoncini normali e 1 spezzato. L'estrazione avviene senza reinserimento del bastoncino estratto.
Vi ringrazio e complimenti per il forum.
un saluto
è la prima volta che scrivo in questo forum. l'ho scoperto oggi mentre giravo su internet per trovare una risposta ad un quesito che da tempo, in pausa caffè, è oggetto di accesi dibattiti tra i colleghi. Vi spiego.
Per decidere chi fa il caffè ogni giorno facciamo un'estrazione: chi estrae il bastoncino da caffè corto su N bastoncini (con N il numero dei bastoncini e dei partecipanti all'estrazione) fa il caffè. Ci chiedevamo se fosse conveniente estrarre per primi, per ultimi o in quale posizione intermedia. A mio avviso il problema richiede qualche calcoletto di probabilità condizionata, che purtroppo pur avendo fatto un esame di statistica non ricordo bene.
Mi potreste dare una mano? Preciso che l'estrazione avviene estraendo uno per volta fino a che qualcuno non prende il bastoncino corto. Esempio: 10 bastoncini normali e 1 spezzato. L'estrazione avviene senza reinserimento del bastoncino estratto.
Vi ringrazio e complimenti per il forum.
un saluto
Risposte
no assolutamente. ho capito che era una battuta.
faccio la prova che mi hai suggerito. poi ti faccio sapere.
ancora grazie.
ciao
faccio la prova che mi hai suggerito. poi ti faccio sapere.
ancora grazie.
ciao
ma se invece di estrarre uno per volta si estraesse tutti contemporaneamente? ognuno sceglie un bastoncino e lo estrae insieme agli altri. al mazziere rimarrà in mano un bastoncino. lmmagino sia la stessa cosa o no?
"ViciousGoblin":
[quote="arketettie"]non ci sono dubbi sulla regolarità dell'estrazione (il mazziere è persona integerrima) e i bastoncini sono tutti uguali (usiamo le palettine per girare lo zucchero nel caffè). devo iniziare a fare un report di ogni estrazione per fare poi un studio. da domani prendo nota. intanto continuo ad aspettare altri contributi illuminanti.
ciao
Spero tu non abbia presa come offensiva la mia battuta sul mazziere - se no scusa
.Invece di prendere nota delle estrazioni quotidiane potresti fare quest'altro esperimento. Prendi nove carte da un mazzo (o un numero qualsiasi a seconda del numero di persone che vuoi simulare) e decidi che una di queste è quella cattiva - il bastoncino corto (se usi le carte padovane devi scegliere il fante di spade!). Mescola le carte e
girale una alla volta. Quando esce la carta cattiva prendi nota della posizione in cui è uscita. Ripeti il gioco un congruo numero di volete (in un'oretta dovresti esserti già fatto un'idea) e vedi come si distribuiscono in percentuale le posizioni. Secondo me queste risulteranno distribuite uniformemente ( $1/9$ delle volte la "vecia" uscirà per prima, $1/9$ per seconda e così via). Se lo fai facci sapere.[/quote]
Anch'io lo avevo pensato come problema equivalente ma il non trovare la probabilità 1/n qui dipende dalla qualità della mescolata... Quello che scopriresti è che non sai mescolare bene le carte. Certo dovresti fare un test di ipotesi serio.
"arketettie":
ma se invece di estrarre uno per volta si estraesse tutti contemporaneamente? ognuno sceglie un bastoncino e lo estrae insieme agli altri. al mazziere rimarrà in mano un bastoncino. lmmagino sia la stessa cosa o no?
Certo che è uguale.
"vict85":
[quote="ViciousGoblin"]
Invece di prendere nota delle estrazioni quotidiane potresti fare quest'altro esperimento. Prendi nove carte da un mazzo (o un numero qualsiasi a seconda del numero di persone che vuoi simulare) e decidi che una di queste è quella cattiva - il bastoncino corto (se usi le carte padovane devi scegliere il fante di spade!). Mescola le carte e
girale una alla volta. Quando esce la carta cattiva prendi nota della posizione in cui è uscita. Ripeti il gioco un congruo numero di volete (in un'oretta dovresti esserti già fatto un'idea) e vedi come si distribuiscono in percentuale le posizioni. Secondo me queste risulteranno distribuite uniformemente ( $1/9$ delle volte la "vecia" uscirà per prima, $1/9$ per seconda e così via). Se lo fai facci sapere.
Anch'io lo avevo pensato come problema equivalente ma il non trovare la probabilità 1/n qui dipende dalla qualità della mescolata... Quello che scopriresti è che non sai mescolare bene le carte. Certo dovresti fare un test di ipotesi serio.[/quote]
Ma allora lo stesso problema di "qualità della mescolata" potrebbe riproporsi per il bastoncini. Per esempio il mazziere potrebbe presentare i bastoncini con quello
corto sempre verso il centro (in maniera involontaria, dico), mentre gli utenti potrebbero essere inclini a prendere prima quelli periferici.
Ragazzi aiutamtemi. c'è un collega che non crede alla dimostrazione e sostiene che ogni estrazione, fino a che non viene estratto il bastoncino corto, sia indipendente. quindi su 4 lunghe e una corta il primo ha 1/5, il secondo 1/4 il terzo 1/3 e così via. quindi sostiene che conviene estrarre per primi. come lo convinco?
"arketettie":
Ragazzi aiutamtemi. c'è un collega che non crede alla dimostrazione e sostiene che ogni estrazione, fino a che non viene estratto il bastoncino corto, sia indipendente. quindi su 4 lunghe e una corta il primo ha 1/5, il secondo 1/4 il terzo 1/3 e così via. quindi sostiene che conviene estrarre per primi. come lo convinco?
Potresti dirgli che a sentire il suo ragionamento l'ultimo ha probabilità 1 - e quindi dovrebbe per forza toccare a lui
In realtà, come abbiamo già notato il secondo ha probabilità $1/4$ MOLTIPLICATO PER la probabilità che il primo non abbia pescato il corto e quindi
$1/4 *(1-1/5)=1/4 * 4/5=1/5$
però in realtà l'ultimo non sceglie, in quanto il suo destino dipende dalla scelta del IV (se quelli prima hanno estratto il bastoncino lungo) e quindi il mio collega dice che il mazziere ha 1/2 delle possibilità di perdere e quindi maggiore di 1/5 (I estrazione). Di qui la convinzione che è meglio scegliere per primo.
Forse dovrei battere sulla questione che la somma delle probabilità deve fare 1?
Forse dovrei battere sulla questione che la somma delle probabilità deve fare 1?
potresti dirgli che è vero che il quinto non sceglie, ma scelgono gli altri prima di lui.
Il fatto che tutte le probabilità sono uguali è dettato dal fatto che chi pesca dopo vince se chi pesca prima perde.
Se tutti continuano a pescare riscalando le probabilità quello che fai è far diventare deterministica l'avanzata (ovvero supponi che vai avanti sempre): infatti è vero che il secondo ha probabilità (se $N=5$ ) $1/4$ di perdere, ma a questo devi moltiplicarci la possibilità che ha lui di poter pescare (ovvero che il primo vinca) che vale $4/5$. Il tuo collega non tiene conto del $4/5$.
Il fatto che tutte le probabilità sono uguali è dettato dal fatto che chi pesca dopo vince se chi pesca prima perde.
Se tutti continuano a pescare riscalando le probabilità quello che fai è far diventare deterministica l'avanzata (ovvero supponi che vai avanti sempre): infatti è vero che il secondo ha probabilità (se $N=5$ ) $1/4$ di perdere, ma a questo devi moltiplicarci la possibilità che ha lui di poter pescare (ovvero che il primo vinca) che vale $4/5$. Il tuo collega non tiene conto del $4/5$.
però in realtà l'ultimo non sceglie, in quanto il suo destino dipende dalla scelta del IV (se quelli prima hanno estratto il bastoncino lungo) e quindi il mio collega dice che il mazziere ha 1/2 delle possibilità di perdere e quindi maggiore di 1/5 (I estrazione). Di qui la convinzione che è meglio scegliere per primo.
Forse dovrei battere sulla questione che la somma delle probabilità deve fare 1?
Forse dovrei battere sulla questione che la somma delle probabilità deve fare 1?
"ViciousGoblin":
Potresti dirgli che a sentire il suo ragionamento l'ultimo ha probabilità 1 - e quindi dovrebbe per forza toccare a lui
Questa mi pare una spiegazione euristico-deduttiva molto efficace
Ho fatto una simulazione di 10000 estrazioni con Excel, nel caso senza reimmissione del bastoncino estratto e nel caso con reimmissione del bastoncino ad ogni estrazione (su suggerimento di Luca Barletta).
Senza reimmissione il gioco ovviamente termina entro le prime 5 estrazioni, con probabilità circa pari ad 1/5=20% uguale per tutti.
Nel caso di reimmissione del bastoncino in effetti le probabilità maggiori toccano al primo e così a decrescere fino all'ultimo.
Ora sto calcolando (non simulazione) le probabilità in questo secondo caso, usando la serie geometrica...
Per il primo che estrae mi viene $P(1)=625/2101=29.7%$
Ora non ho tempo di completare gli altri calcoli, ma vorrei capire come si imposta e risolve con la catena di Markov.
Qualcuno può darmi suggerimenti sul modello ?
Senza reimmissione il gioco ovviamente termina entro le prime 5 estrazioni, con probabilità circa pari ad 1/5=20% uguale per tutti.
Nel caso di reimmissione del bastoncino in effetti le probabilità maggiori toccano al primo e così a decrescere fino all'ultimo.
Ora sto calcolando (non simulazione) le probabilità in questo secondo caso, usando la serie geometrica...
Per il primo che estrae mi viene $P(1)=625/2101=29.7%$
Ora non ho tempo di completare gli altri calcoli, ma vorrei capire come si imposta e risolve con la catena di Markov.
Qualcuno può darmi suggerimenti sul modello ?
"cenzo":
Qualcuno può darmi suggerimenti sul modello ?
Reimmissione
Il modello è facile .... dovrebbe portare a questi risultati.
Ti faccio presente che non hai considerato la possibilità, che nessuno dei 5 prenda il bastoncino corto. (1)
la prima colonna (% REL) sono le percentuali relative (quelle che hai considerato te).
la seconda (% ASS) le percentuali assolute (ovvero prendendo in esame anche la possibilità del punto (1)
S.E.&.O.
(Con reimmissione)
In verità se nessuno dei 5 alla prima tornata estrae il bastoncino corto, allora si prosegue con un altro giro e così via (nello stesso ordine), finchè non viene estratto il bastoncino corto (allorchè il gioco termina). Ciò potrebbe accadere, in teoria, anche "dopo un numero infinito di estrazioni".
Quindi non esiste il caso che il bastoncino corto non venga estratto.
Allora, la probabilità che il primo giocatore (A) estrae il corto alla prima estrazione è $1/5$
La probabilità che lo estrae alla sesta estrazione è $(4/5)^5*(1/5)$
La probabilità che lo estrae alla undicesima estrazione è $(4/5)^10*(1/5)$
e così via...
Dunque la probabilità che il bastoncino corto sia estratto dal primo giocatore (A) è:
$P(A)=1/5+(4/5)^5*(1/5)+(4/5)^10*(1/5)+...$
$P(A)=1/5*((4/5)^0+(4/5)^5+(4/5)^10+...)$
$P(A)=1/5sum(4/5)^(5n)=1/5sum((4/5)^5)^n=1/5*(1)/(1-1/((4/5)^5))=625/2101$
Per quanto riguarda il secondo giocatore (B), la probabilità che egli estragga il bastoncino più corto è data dalla somma delle probabilità che ciò avvenga alla seconda estrazione, settima, dodicesima e così via...
$P(B)=4/5*1/5+(4/5)^6*(1/5)+(4/5)^11*(1/5)+...$
$P(B)=4/5*1/5*((4/5)^0+(4/5)^5+(4/5)^10+...)=1/5*4/5*(1)/(1-1/((4/5)^5))=500/2101$
Procedendo in modo analogo per gli altri tre giocatori (C,D,E) ritrovo in definitiva le seguenti probabilità:
$P(A)=625/2101=0.297$
$P(B)=500/2101=0.238$
$P(C)=400/2101=0.190$
$P(D)=320/2101=0.152$
$P(E)=256/2101=0.122$
A quanto ho capito dall'intervento di luca.barletta e dal suo rimando al post sulla roulette russa
https://www.matematicamente.it/forum/rou ... 29094.html
gli stessi risultati si potrebbero ottenere con una catena di Markov.
Inoltre si dovrebbe calcolare anche la durata media del gioco, cioè (credo) il numero medio di estrazioni necessarie a terminare il gioco (si estrae il bastoncino corto).
Dato che conosco poco le catene di Markov, ma mi interessano molto, mi piacerebbe se qualcuno potesse mostrare il modello da utilizzare (gli stati, il vettore iniziale, la matrice di transizione...) e capire come ottenere i risultati richiesti in quest'altro modo.
P.S.
Come si fa ad inserire un file allegato al messaggio (excel o zippato) sul forum?
In verità se nessuno dei 5 alla prima tornata estrae il bastoncino corto, allora si prosegue con un altro giro e così via (nello stesso ordine), finchè non viene estratto il bastoncino corto (allorchè il gioco termina). Ciò potrebbe accadere, in teoria, anche "dopo un numero infinito di estrazioni".
Quindi non esiste il caso che il bastoncino corto non venga estratto.
Allora, la probabilità che il primo giocatore (A) estrae il corto alla prima estrazione è $1/5$
La probabilità che lo estrae alla sesta estrazione è $(4/5)^5*(1/5)$
La probabilità che lo estrae alla undicesima estrazione è $(4/5)^10*(1/5)$
e così via...
Dunque la probabilità che il bastoncino corto sia estratto dal primo giocatore (A) è:
$P(A)=1/5+(4/5)^5*(1/5)+(4/5)^10*(1/5)+...$
$P(A)=1/5*((4/5)^0+(4/5)^5+(4/5)^10+...)$
$P(A)=1/5sum(4/5)^(5n)=1/5sum((4/5)^5)^n=1/5*(1)/(1-1/((4/5)^5))=625/2101$
Per quanto riguarda il secondo giocatore (B), la probabilità che egli estragga il bastoncino più corto è data dalla somma delle probabilità che ciò avvenga alla seconda estrazione, settima, dodicesima e così via...
$P(B)=4/5*1/5+(4/5)^6*(1/5)+(4/5)^11*(1/5)+...$
$P(B)=4/5*1/5*((4/5)^0+(4/5)^5+(4/5)^10+...)=1/5*4/5*(1)/(1-1/((4/5)^5))=500/2101$
Procedendo in modo analogo per gli altri tre giocatori (C,D,E) ritrovo in definitiva le seguenti probabilità:
$P(A)=625/2101=0.297$
$P(B)=500/2101=0.238$
$P(C)=400/2101=0.190$
$P(D)=320/2101=0.152$
$P(E)=256/2101=0.122$
A quanto ho capito dall'intervento di luca.barletta e dal suo rimando al post sulla roulette russa
https://www.matematicamente.it/forum/rou ... 29094.html
gli stessi risultati si potrebbero ottenere con una catena di Markov.
Inoltre si dovrebbe calcolare anche la durata media del gioco, cioè (credo) il numero medio di estrazioni necessarie a terminare il gioco (si estrae il bastoncino corto).
Dato che conosco poco le catene di Markov, ma mi interessano molto, mi piacerebbe se qualcuno potesse mostrare il modello da utilizzare (gli stati, il vettore iniziale, la matrice di transizione...) e capire come ottenere i risultati richiesti in quest'altro modo.
P.S.
Come si fa ad inserire un file allegato al messaggio (excel o zippato) sul forum?
"cenzo":
P.S.
Come si fa ad inserire un file allegato al messaggio (excel o zippato) sul forum?
Non si può, devi servirti di un tuo spazio web.
In excel avevo utilizzato:
Per n=5
Per x=1,2,3,4,5
$P(x)=n^(n-x) * (n-1)^(x-1)$
"Umby":
Non si può, devi servirti di un tuo spazio web.
In excel avevo utilizzato:
$P(x)=n^(n-x) * (n-1)^(x-1)$
Grazie Umby.
Col denominatore, la probabilità dovrebbe essere questa:
$P(x)=(n^(n-x) * (n-1)^(x-1))/(n^n-(n-1)^n)$
ed è una progressione geometrica di ragione $(n-1)/n$
Una curiosità: hai seguito un ragionamento simile al mio o c'è una via più breve e diretta?
"cenzo":
Dato che conosco poco le catene di Markov, ma mi interessano molto, mi piacerebbe se qualcuno potesse mostrare il modello da utilizzare (gli stati, il vettore iniziale, la matrice di transizione...) e capire come ottenere i risultati richiesti in quest'altro modo.
Mi rispondo da solo: ti consiglio di aprire un libro e studiare le catene di Markov!
"cenzo":
Una curiosità: hai seguito un ragionamento simile al mio o c'è una via più breve e diretta?
Sono partito dalle disposizioni totali $5^5$, ho scelto un numero (ad esempio "1"), e mi son chiesto quante volte appare in prima posizione:
1XXXX (Ogni X può essere 1,2,3,4,5)
$5*5*5*5$
poi, mi son chiesto quante volte appare lo stesso "1" per la prima volta in seconda posizione:
Y1XXX (la Y vale 2,3,4,5 la X 1,2,3,4,5)
$4*5*5*5$
da qui, è facile intuire che piu si va verso destra aumentano le Y (potenze di 4 ) e diminuiscono le X (potenze di 5). Da qui la formuletta prima citata.
grazie a tutti per le risposte.
purtroppo non c'è modo di convincerlo. neanche davanti all'evidenza della prova empirica del foglio excel ammette che sbaglia. ci rinuncio.
continua a farmi l'esempio:
LUI:ho due bastoncini lunghi e uno corto. qual'è la probabilità di estrarre il corto?
IO: $1/3$.
Poi toglie un bastoncino lungo e chiede:
LUI: adesso?
IO: sempre $1/3$ se è la "partita" di prima; se è un'altra "partita" è $1/2$
LUI:ah, ecco...vedi che non è sempre uguale!!
ma come devo fare!
ciao
purtroppo non c'è modo di convincerlo. neanche davanti all'evidenza della prova empirica del foglio excel ammette che sbaglia. ci rinuncio.
continua a farmi l'esempio:
LUI:ho due bastoncini lunghi e uno corto. qual'è la probabilità di estrarre il corto?
IO: $1/3$.
Poi toglie un bastoncino lungo e chiede:
LUI: adesso?
IO: sempre $1/3$ se è la "partita" di prima; se è un'altra "partita" è $1/2$
LUI:ah, ecco...vedi che non è sempre uguale!!
ma come devo fare!
ciao
Esiste un sistema, scommettete e fate una serie di partite. Dopo che gli hai vinto 20/30 euro vedrai si convince 
non è un'idea malvagia...solo che dovremmo fare un bel po' di prove per avere un campione significativo
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