Catene Di Markov esercizio

[monica_n]

Ciao a tutti!
Ho questo esercizio sulle catene di Markov. Dato l'insieme degli stati $ I={1,2,3,4} $, la matrice di transizione è: $ ( ( 0 , 1, 0, 0),( 0, 0, 1, 0),( 1/2, 0 , 0 , 1/2 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ) ) $
L'esercizio chiede:
1) classificazione di stati e periodo;
2) se la catena è regolare;
3) se esistono calcolare le leggi invarianti;
4) Calcolare approssimativamente la probabilità $ P(X_(3(n+1))=1,X_(3n)=3) $ (dove $ {X_n}_n $ è la cdM)

Per i punti 1-3 nessun problema, ho trovato:
1) {1,2,3,4} ricorrente, periodo 3
2) non è regolare
3) unica legge invariante $ mu =(1/6,1/3,1/3,1/6) $

Per il punto 4 invece, procedendo nel seguente modo, ottengo:

$ P(X_(3(n+1))=1,X_(3n)=3)=P(X_(3(n+1))=1|X_(3n)=3) P(X_(3n)=3)=(1)=P(X_(n+1)=1|X_n=3)P(X_n=3)=p_(31)P(X_n=3)=1/2P(X_n=3) $

dove nel passaggio (1) ho sfruttato il fatto che il periodo è 3, non sono sicura che esista un risultato come questo nella teoria, ma mi sembra una cosa ragionevole (sbaglio? ). Il problema è: come calcolo $ P(X_n=3) $ ??

Grazie mille!!

[monica_n]

"arnett":Ciao, non capisco quell'approssimativamente...

A me quella probabilità viene nulla:
$P(X_(3(n+1))=1,X_(3n)=3)=P(X_(3(n+1))=1|X_(3n)=3) P(X_(3n)=3)=p_{31}^((3))P(X_(3n)=3)=0$ avendo usato l'omogeneità: la probabilità di essere al passo $3n$ in 3 e al passo $3n+3$ in 1 è uguale alla probabilità $p_{31}^((3))$ di passare da 3 a 1 in tre passi, che è nulla (basta guardare il grafo o calcolare la terza potenza della matrice).

Sono abbastanza certo di quello che dico ma quell'approssimativamente mi fa dubitare di un risultato così netto

Mmmmm.. Per prima cosa grazie per avermi risposto! Ma torniamo a noi, quindi dici che non si possa fare quel passaggio che ho chiamato (1)? In ogni caso, mi chiedo, ammettendo che $ p_31!= 0 $, come calcolo $ P(X_n=3) $ ? o secondo il tuo caso $ P(X_(3n)=3) $ ?

[monica_n]

Mmm capito, grazie mille per avermi aiutato!!