Campione densità gamma

[Luca114]

Dato un campione della densità gamma (parametri $alpha,lambda$), devo studiare la media campionaria. Il libro dice che questa ha densità gamma di parametri $nalpha,lambda$. Però la media campionaria è $1/n*$somma di variabili aleatorie gamma del campione, quindi $1/n*Gamma(nalpha,lambda)~Gamma(nalpha,nlambda)$. Cosa c'è che sbaglio? Inoltre viene asserito che per $n$ grande, la media campionaria ha approssimativamente densità normale $N(alpha,alpha/(lambda^2n^2))$. Che la somma di $n$ v.a. gamma indipendenti con $n$ grande sia approssimativamente una normale ci è stato detto, ma come trovo (o verifico) i parametri?

P.S.: posso affermare in generale che, per un campione di variabili aleatorie indipendenti ed equivalentemente distribuite, media e varianza campionarie sono indipendenti? O vale la restrizione solo per le gaussiane?

[Lo_zio_Tom]

hai ragione tu. Ci sarà un errore sul testo, ed è anche facile da dimostrare[nota]esistendo diverse parametrizzazioni per la Gamma, provo con quella che mi sembra più corretta per come sono impostati i risultati (benché con diversi errori)[/nota]

$X_(i)~Gamma(alpha ; lambda)=lambda^alpha/(Gamma(alpha))x^(alpha-1)e^(-lambdax)$

la FGM è questa: $M_(X)(t)=((lambda-t)/lambda)^(-alpha)$

con n variabili iid allora

$M_(((SigmaX)/n))(t)=[M_(X)(t/n)]^n=((nlambda-t)/(nlambda))^-(alphan)$

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La distribuzione asintotica della media campionaria e relativi parametri li puoi verificare utilizzando il teorema del limite centrale... così verifichi che quelli che hai scritto sono evidentemente sbagliati (la media di quella Gaussiana non dipende nemmeno da $lambda $... non ti sembra un po' strano?)

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No, quel risultato vale solo se il modello è gaussiano (vedi teoremi di Basu e di Cochran)