Cambio variabili, range marginali
Salve a tutti, il mio problema è il seguente:
Siano $X_1 ,X_2 , X_3$ 3 variabili aleatorie i.i.d. come X, variabile aleatoria assolutamente continua con densità $f_X(x)=e^{-x}1_{(0,+infty)}(x)$. Definiamo $Y_1, Y_2 , Y_3$ nel seguente modo
$\{(Y_1 ={X_1}/{X_1+X_2}),(Y_2={X_1+X_2}/{X_1+X_2+X_3}),(Y_3=X_1+X_2+X_3):}$
a.$Y_1,Y_2,Y_3$ sono indipendenti?
b.Determinare la densità di probabilità $f_{Y_2} $
OK allora io l'ho svolto in questo modo:
essendo $X_1,X_2,X_3$ indipendenti tra loro allora la congiunta sarà il prodotto delle densità e quindi $f_{X_1,X_2,X_3}(x_1,x_2,x_3)=e^{-(x_1+x_2+x_3)}1_{(0,+infty)}(x_1)1_{(0,+infty)}(x_2)1_{(0,+infty)}(x_3)$
definisco g la trasformazione:
$g=\{(Y_1 ={X_1}/{X_1+X_2}),(Y_2={X_1+X_2}/{X_1+X_2+X_3}),(Y_3=X_1+X_2+X_3):}$ e
$g^{-1} =\{( X_1= Y_1 Y_2 Y_3),(X_2=Y_2 Y_3 -Y_1 Y_2 Y_3), (X_3 =Y_3 - Y_2 Y_3):}$
Vado scrivere lo jacobiano della trasformazione
$ J=((Y_2 Y_3, Y_1 Y_3,Y_1 Y_2),(-Y_2Y_3,Y_3(1-Y_1),Y_2(1-Y_1)),(0,-Y_3,1-Y_2))$ di cui $|J|=Y_1 Y_2 Y_3^2$
Quindi $ f_{Y_1,Y_2,Y_3}(y_1,y_2,y_3) =f_{X_1,X_2,X_3}(g^{-1}(y_1,y_2,y_3))|J| 1_{R_{Y_1}}1_{R_{Y_2}}1_{R_{Y_3}} =
e^{-y_3} (Y_1 Y_2 Y_3^2 )1_{R_{Y_1}}1_{R_{Y_2}}1_{R_{Y_3}} $
Il mio primo problema è come faccio a trovare il range di $Y_1,Y_2,Y_3$?
Io ho provato a fare così
$\{(0
Da cui ottengo $\{(0
Penso di sbagliare qualcosa, poiché se uso quel range per rispondere alla domanda b, ottengo che $f_{Y_2} {y_2} =\int_0^{+infty} int_{-infty}^1 f_{Y_1,Y_2,Y_3}(y_1,y_2,y_3)dy_1dy_3 $ va a $infty$, cosa che credo sbagliata.
Qualcuno può aiutarmi, grazie mille.
Buona giornata
Siano $X_1 ,X_2 , X_3$ 3 variabili aleatorie i.i.d. come X, variabile aleatoria assolutamente continua con densità $f_X(x)=e^{-x}1_{(0,+infty)}(x)$. Definiamo $Y_1, Y_2 , Y_3$ nel seguente modo
$\{(Y_1 ={X_1}/{X_1+X_2}),(Y_2={X_1+X_2}/{X_1+X_2+X_3}),(Y_3=X_1+X_2+X_3):}$
a.$Y_1,Y_2,Y_3$ sono indipendenti?
b.Determinare la densità di probabilità $f_{Y_2} $
OK allora io l'ho svolto in questo modo:
essendo $X_1,X_2,X_3$ indipendenti tra loro allora la congiunta sarà il prodotto delle densità e quindi $f_{X_1,X_2,X_3}(x_1,x_2,x_3)=e^{-(x_1+x_2+x_3)}1_{(0,+infty)}(x_1)1_{(0,+infty)}(x_2)1_{(0,+infty)}(x_3)$
definisco g la trasformazione:
$g=\{(Y_1 ={X_1}/{X_1+X_2}),(Y_2={X_1+X_2}/{X_1+X_2+X_3}),(Y_3=X_1+X_2+X_3):}$ e
$g^{-1} =\{( X_1= Y_1 Y_2 Y_3),(X_2=Y_2 Y_3 -Y_1 Y_2 Y_3), (X_3 =Y_3 - Y_2 Y_3):}$
Vado scrivere lo jacobiano della trasformazione
$ J=((Y_2 Y_3, Y_1 Y_3,Y_1 Y_2),(-Y_2Y_3,Y_3(1-Y_1),Y_2(1-Y_1)),(0,-Y_3,1-Y_2))$ di cui $|J|=Y_1 Y_2 Y_3^2$
Quindi $ f_{Y_1,Y_2,Y_3}(y_1,y_2,y_3) =f_{X_1,X_2,X_3}(g^{-1}(y_1,y_2,y_3))|J| 1_{R_{Y_1}}1_{R_{Y_2}}1_{R_{Y_3}} =
e^{-y_3} (Y_1 Y_2 Y_3^2 )1_{R_{Y_1}}1_{R_{Y_2}}1_{R_{Y_3}} $
Il mio primo problema è come faccio a trovare il range di $Y_1,Y_2,Y_3$?
Io ho provato a fare così
$\{(0
Da cui ottengo $\{(0
Penso di sbagliare qualcosa, poiché se uso quel range per rispondere alla domanda b, ottengo che $f_{Y_2} {y_2} =\int_0^{+infty} int_{-infty}^1 f_{Y_1,Y_2,Y_3}(y_1,y_2,y_3)dy_1dy_3 $ va a $infty$, cosa che credo sbagliata.
Qualcuno può aiutarmi, grazie mille.
Buona giornata
Risposte
prima di postare nuovi esercizi è utile guardare nel forum...l'esercizio in questione lo trovi qui risolto (in parte). Ci ho messo un po' per trovare la strada migliore....le parti che non ho risolto le puoi terminare tu....
Come vedi la densità di $Y_(2)$ è davvero facile da calcolare
Se invece riuscissi a risolvere questo mi faresti un favore...io le ho provate davvero tutte ma inutilmente. L'utente in questione ha già superato l'esame recentemente....probabilmente sul tuo stesso testo.
Guardando i topic di Lukath troverai diversi altri esercizi già risolti...che indubbiamente troverai sul tuo testo.
ciao
Come vedi la densità di $Y_(2)$ è davvero facile da calcolare
Se invece riuscissi a risolvere questo mi faresti un favore...io le ho provate davvero tutte ma inutilmente. L'utente in questione ha già superato l'esame recentemente....probabilmente sul tuo stesso testo.
Guardando i topic di Lukath troverai diversi altri esercizi già risolti...che indubbiamente troverai sul tuo testo.
ciao
A ok! Grazie mille! Elimino la domanda allora!
"tommik":
Se invece riuscissi a risolvere questo mi faresti un favore...io le ho provate davvero tutte ma inutilmente. L'utente in questione ha già superato l'esame recentemente....probabilmente sul tuo stesso testo.
Intanto guardo questo esercizio! vedo se ho qualche idea, anche se per ora mi sono venuti i suoi stessi risultati
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