Calcolo Probabilità di variabili binomiali composte

mbistato
Ciao,
ho il seguente testo: "La probabilità di trovare libero un certo numero telefonico è pari al $60\%$. Ho necessità di effettuare 3 conversazioni. Qual è la probabilità che riesca a finire il mio lavoro entro le prime 8 chiamate?

Ho risolto secondo questo ragionamento:
$X_n$ = Numero chiamate con successo su $n$ prove
$p$ = Probabilità di chiamata con successo = $0.6$
$n$ = prove effettuate equiprobabili e indipendenti
$X_n~B(n,p),\ n=3,4,..., 8$

Quindi la probabilità richiesta l'ho trovata calcolando la somma delle singole probabilità delle variabili binomiali $X_n$:
$P(X_3=3)+P(X_4=3)+P(X_5=3)+P(X_6=3)+P(X_7=3)+P(X_8=3)$$

Ma facendo i conti, mi viene fuori un numero maggiore di 1 :shock: e questo vuol dire che c'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento che però non riesco a capire.

Risposte
feddy
L'errore sta nel fatto che se per esempio sei riuscito all'ultimo tentativo, questo non implica che tu debba essere riuscito a quelli precedenti...

Ti stai chiedendo la probabilità di avere $3$ successi (risposta alla chiamata) in $8$ chiamate. E' proprio la definizione (intuitiva) di distribuzione binomiale e quindi vale $ ( (8), (3) ) p^3(1-p)^5=0.12 $

Edit: ho visto la risposta di tommik ora. Spero di aver risposto correttamente

Lo_zio_Tom
Ciao Feddy :)

no, non mi pare corretta la risposta. Con la binomiale fai necessariamente 8 tentativi qui invece se riesci in 3 ti fermi. Solo che per riuscire al 4° necessariamente non devi riuscire nei primi 3

In fin dei conti verrebbe così:



$P(X<=8)=0.6^3sum_(x=2)^(7)((x),(2))0.4^(x-2)~~0.95$

feddy
caspita se ho letto male il testo, chiedo scusa!
Ora mi è tutto chiaro, grazie anche da parte mia ;)

mbistato
Chiaro grazie!

feddy
Un'ultima cosa... non capisco perché nel binomio ci sia il $2$ e il $7$... non dovrebbe essere $0.6^3sum_(x=3)^(8)((x),(3))0.4^(x-3)$ ?

Grazie infinite :)

Lo_zio_Tom
No perché devi avere il terzo successo esattamente all'ennesimo tentativo il che implica avere esattamente 2 successi negli $(n-1) $ tentativi precedenti e poi moltiplicare il tutto per $0,6$

Nella tua formula invece i 3 successi potrebbero avvenire in qualsiasi posizione

feddy
oh perfetto, ora ho capito! Grazie ancora ! :)

superpippone
Si poteva fare anche utilizzando la probabilità contraria.
Ovvero calcolare la probabilità che su 8 tentativi ne falliscano almeno 6:

$1-(0,4^6*0,6^2*(8!)/(6!*2!)+0,4^7*0,6*(8!)/(7!)+0,4^8)=1-(0,0413+0.0079+0,0007)=0,9501$

kobeilprofeta
Sostanzialmente usi la geometrica

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