Calcolo Probabilità di variabili binomiali composte
Ciao,
ho il seguente testo: "La probabilità di trovare libero un certo numero telefonico è pari al $60\%$. Ho necessità di effettuare 3 conversazioni. Qual è la probabilità che riesca a finire il mio lavoro entro le prime 8 chiamate?
Ho risolto secondo questo ragionamento:
$X_n$ = Numero chiamate con successo su $n$ prove
$p$ = Probabilità di chiamata con successo = $0.6$
$n$ = prove effettuate equiprobabili e indipendenti
$X_n~B(n,p),\ n=3,4,..., 8$
Quindi la probabilità richiesta l'ho trovata calcolando la somma delle singole probabilità delle variabili binomiali $X_n$:
$P(X_3=3)+P(X_4=3)+P(X_5=3)+P(X_6=3)+P(X_7=3)+P(X_8=3)$$
Ma facendo i conti, mi viene fuori un numero maggiore di 1
e questo vuol dire che c'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento che però non riesco a capire.
ho il seguente testo: "La probabilità di trovare libero un certo numero telefonico è pari al $60\%$. Ho necessità di effettuare 3 conversazioni. Qual è la probabilità che riesca a finire il mio lavoro entro le prime 8 chiamate?
Ho risolto secondo questo ragionamento:
$X_n$ = Numero chiamate con successo su $n$ prove
$p$ = Probabilità di chiamata con successo = $0.6$
$n$ = prove effettuate equiprobabili e indipendenti
$X_n~B(n,p),\ n=3,4,..., 8$
Quindi la probabilità richiesta l'ho trovata calcolando la somma delle singole probabilità delle variabili binomiali $X_n$:
$P(X_3=3)+P(X_4=3)+P(X_5=3)+P(X_6=3)+P(X_7=3)+P(X_8=3)$$
Ma facendo i conti, mi viene fuori un numero maggiore di 1

Risposte
L'errore sta nel fatto che se per esempio sei riuscito all'ultimo tentativo, questo non implica che tu debba essere riuscito a quelli precedenti...
Ti stai chiedendo la probabilità di avere $3$ successi (risposta alla chiamata) in $8$ chiamate. E' proprio la definizione (intuitiva) di distribuzione binomiale e quindi vale $ ( (8), (3) ) p^3(1-p)^5=0.12 $
Edit: ho visto la risposta di tommik ora. Spero di aver risposto correttamente
Ti stai chiedendo la probabilità di avere $3$ successi (risposta alla chiamata) in $8$ chiamate. E' proprio la definizione (intuitiva) di distribuzione binomiale e quindi vale $ ( (8), (3) ) p^3(1-p)^5=0.12 $
Edit: ho visto la risposta di tommik ora. Spero di aver risposto correttamente
Ciao Feddy 
no, non mi pare corretta la risposta. Con la binomiale fai necessariamente 8 tentativi qui invece se riesci in 3 ti fermi. Solo che per riuscire al 4° necessariamente non devi riuscire nei primi 3
In fin dei conti verrebbe così:
$P(X<=8)=0.6^3sum_(x=2)^(7)((x),(2))0.4^(x-2)~~0.95$

no, non mi pare corretta la risposta. Con la binomiale fai necessariamente 8 tentativi qui invece se riesci in 3 ti fermi. Solo che per riuscire al 4° necessariamente non devi riuscire nei primi 3
In fin dei conti verrebbe così:
$P(X<=8)=0.6^3sum_(x=2)^(7)((x),(2))0.4^(x-2)~~0.95$
caspita se ho letto male il testo, chiedo scusa!
Ora mi è tutto chiaro, grazie anche da parte mia
Ora mi è tutto chiaro, grazie anche da parte mia

Chiaro grazie!
Un'ultima cosa... non capisco perché nel binomio ci sia il $2$ e il $7$... non dovrebbe essere $0.6^3sum_(x=3)^(8)((x),(3))0.4^(x-3)$ ?
Grazie infinite
Grazie infinite

No perché devi avere il terzo successo esattamente all'ennesimo tentativo il che implica avere esattamente 2 successi negli $(n-1) $ tentativi precedenti e poi moltiplicare il tutto per $0,6$
Nella tua formula invece i 3 successi potrebbero avvenire in qualsiasi posizione
Nella tua formula invece i 3 successi potrebbero avvenire in qualsiasi posizione
oh perfetto, ora ho capito! Grazie ancora !

Si poteva fare anche utilizzando la probabilità contraria.
Ovvero calcolare la probabilità che su 8 tentativi ne falliscano almeno 6:
$1-(0,4^6*0,6^2*(8!)/(6!*2!)+0,4^7*0,6*(8!)/(7!)+0,4^8)=1-(0,0413+0.0079+0,0007)=0,9501$
Ovvero calcolare la probabilità che su 8 tentativi ne falliscano almeno 6:
$1-(0,4^6*0,6^2*(8!)/(6!*2!)+0,4^7*0,6*(8!)/(7!)+0,4^8)=1-(0,0413+0.0079+0,0007)=0,9501$
Sostanzialmente usi la geometrica