Calcolo media e varianza di una variabile aleatoria gaussiana
Buonasera a tutti e grazie in anticipo per il vostro aiuto.
Sto svolgendo una prova d'esame di TLC nella quale è presente il seguente problema di probabilità:
Date due v.a gaussiane aventi:
$mu_1=3$ e $sigma_1 ^2 =5$
$mu_2=5$ e $sigma_2 ^2 =4$
$rho=0,4$
calcolare (tra le varie cose) media e varianza della v.a $Z=X1 - 2X2$
Per quanto riguarda la media ho ottenuto $-7$ (se mi confermate o correggete ve ne sono grato) mentre per quanto riguarda la varianza sto avendo qualche difficoltà... So per definizione che la varianza è data da:
$Var[Z]=E[(Z-E[Z])^2]$ dove nel mio caso ovviamente $Z$ vale la quantità scritta in precedenza... come svolgo l'operazione??? Qualcosa mi sfugge perchè su degli esercizi svolti che mi hanno dato, a prima vista non viene fatto semplicemente lo sviluppo del quadrato e sugli appunti non ho trovato ciò che mi serve
Grazie a chiunque mi darà una mano.
Sto svolgendo una prova d'esame di TLC nella quale è presente il seguente problema di probabilità:
Date due v.a gaussiane aventi:
$mu_1=3$ e $sigma_1 ^2 =5$
$mu_2=5$ e $sigma_2 ^2 =4$
$rho=0,4$
calcolare (tra le varie cose) media e varianza della v.a $Z=X1 - 2X2$
Per quanto riguarda la media ho ottenuto $-7$ (se mi confermate o correggete ve ne sono grato) mentre per quanto riguarda la varianza sto avendo qualche difficoltà... So per definizione che la varianza è data da:
$Var[Z]=E[(Z-E[Z])^2]$ dove nel mio caso ovviamente $Z$ vale la quantità scritta in precedenza... come svolgo l'operazione??? Qualcosa mi sfugge perchè su degli esercizi svolti che mi hanno dato, a prima vista non viene fatto semplicemente lo sviluppo del quadrato e sugli appunti non ho trovato ciò che mi serve
Grazie a chiunque mi darà una mano.
Risposte
La media è giusta.
Per la varianza dovresti sapere che, applicando una nota proprietà,
$V[X-2Y]=V[X]-4Cov[X,Y]+4V[Y]$
Se non dovessi ricordartela, basta sviluppare i conti dalla definizione di varianza che hai scritto per verificarne la correttezza.
Anzi, ti consiglio vivamente di NON usare la proprietà che ti ho indicato ma di sviluppare i conti della varianza che hai (correttamente) scritto ed arrivare tu stesso alla formula....è un esercizio semplice ma molto molto utile.
Poi, per il calcolo della covarianza, usa $rho$
Per la varianza dovresti sapere che, applicando una nota proprietà,
$V[X-2Y]=V[X]-4Cov[X,Y]+4V[Y]$
Se non dovessi ricordartela, basta sviluppare i conti dalla definizione di varianza che hai scritto per verificarne la correttezza.
Anzi, ti consiglio vivamente di NON usare la proprietà che ti ho indicato ma di sviluppare i conti della varianza che hai (correttamente) scritto ed arrivare tu stesso alla formula....è un esercizio semplice ma molto molto utile.
Poi, per il calcolo della covarianza, usa $rho$
"tommik":
...
Grazie mille tommik
ti chiedo solo una cosa così me la scrivo negli appunti, potresti svilupparmi la definizione per arrivare alla proprietà che mi hai scritto? Ovviamente se la cosa non è lunga e se per te non è un problema... La covarianza l'ho ricavata ieri sera utilizzando $rho$ ma non ricordo il risultato per poterla controllare, sono a lavoro e non ho portato gli appunti dietro
grazie ancora
No, non è un problema....anche se sarebbe meglio che la facessi tu, per imparare.
Indico $Z=X-2Y$ per semplificare la notazione
$mathbb{V}[X-2Y]=mathbb{E}[(X-2Y)-mathbb{E}(X-2Y)]^2=mathbb{E}[X-2Y-mathbb{E}(X)+2mathbb{E}(Y)]^2=$
$=mathbb{E}{[X-mathbb{E}(X)]-2[Y-mathbb{E}[Y]}^2=mathbb{E}[X-mathbb{E}(X)]^2-4mathbb{E}{[X-mathbb{E}(X)][Y-mathbb{E}(Y)]}+4mathbb{E}[Y-mathbb{E}(Y)]^2=$
$=mathbb{V}[X]-4Cov[X,Y]+4mathbb{V}[Y]$
c.v.d.
Prova almeno a rifarla in generale, calcolando la varianza di $Z=aX+bY$
Indico $Z=X-2Y$ per semplificare la notazione
$mathbb{V}[X-2Y]=mathbb{E}[(X-2Y)-mathbb{E}(X-2Y)]^2=mathbb{E}[X-2Y-mathbb{E}(X)+2mathbb{E}(Y)]^2=$
$=mathbb{E}{[X-mathbb{E}(X)]-2[Y-mathbb{E}[Y]}^2=mathbb{E}[X-mathbb{E}(X)]^2-4mathbb{E}{[X-mathbb{E}(X)][Y-mathbb{E}(Y)]}+4mathbb{E}[Y-mathbb{E}(Y)]^2=$
$=mathbb{V}[X]-4Cov[X,Y]+4mathbb{V}[Y]$
c.v.d.
Prova almeno a rifarla in generale, calcolando la varianza di $Z=aX+bY$
"tommik":
...
tommik grazie infinite
sei stato chiarissimo e super diponibile Ti scrivo lo svolgimento fatto in modo tale da chiudere l'arogmento... Dati i parametri delle due v.a. anticipate nella traccia ho ricavato la covarianza da $rho$ come segue:
$ rho=(Cov[XY])/(sigma_x * sigma_y) $ da qui ricavo: $Cov[X,Y]=rho * sigma_x * sigma_y = 0.4 *2.23*2 = 1.78 $
da qui ritornando alla proprietà da te gentilmente sviluppata ottengo:
$Var[Z]= Var[X] - 4Cov[XY] + 4Var[Y] = 5 - 4(1.78) + 4(4) = 13.88 $
Spero di non aver fatto errori grossolani... Grazie ancora
Ho anche svolto l'esercizio che mi avevi proposto riaguardo lo sviluppo di una somma generica, ovvero qualcosa del tipo: $Var[aX+bY]$
Lo sviluppo che ho fatto è il seguente:
$V[ax+by] = E[(ax+by) - E(ax+by)]^2 = E[ax+by-E[ax]-E(by)]^2 $
$= E{[ax-E(ax)] + by-E[by]}^2 = E{a[x-E(x)] + b[y-E(y)]}^2 $
$= a^2E[x-E(x)]^2 + 2(ab)E{[x-E(x)] * [y-E(y)]} +b^2E[y-E(y)]^2$
$= a^2V(x) + 2(ab)Cov(xy) +b^2V(y)$
Spero di aver sbagliato il meno possibile
Lo sviluppo che ho fatto è il seguente:
$V[ax+by] = E[(ax+by) - E(ax+by)]^2 = E[ax+by-E[ax]-E(by)]^2 $
$= E{[ax-E(ax)] + by-E[by]}^2 = E{a[x-E(x)] + b[y-E(y)]}^2 $
$= a^2E[x-E(x)]^2 + 2(ab)E{[x-E(x)] * [y-E(y)]} +b^2E[y-E(y)]^2$
$= a^2V(x) + 2(ab)Cov(xy) +b^2V(y)$
Spero di aver sbagliato il meno possibile
"Marco Beta2":
Spero di non aver fatto errori grossolani...
$sqrt(5)~~ 2.236~~ 2.24$...e questo ti cambia un po' il risultato finale. Quando scrivi $mathbb{E}[X], mathbb{V}[X]$ ecc ecc devi usare la lettera maiuscola perché $X$ è una variabile mentre $x$ sono i valori che tale variabile assume...
Per il resto tutto a posto. Con lo stesso metodo[nota]ed un piccolissimo ragionamento[/nota], ovvero il calcolo di $mathbb{V}[X+thetaY]$, puoi dimostrare un altro teorema utilissimo....ovvero che $|Cov(X,Y)|<=sigma_X sigma_Y$
"tommik":
...
Grazie infinite tommik
sei stato veramente chiaro e disponibilissimo grazie veramente di cuore
Volevo chiedere una cosa leggermente off topic perchè non riguarda la domanda in questione ma un altro punto dell'esercizio... lo posto, nel dubbio mi avvisate e rimuovo
L'esercizio mi chiede di calcolare $P(Z<= -7)$ e prima di chiedere ho pensato bene di informarmi prima in internet dato che a lezione esercizi in merito non ne abbiamo fatti... Ho trovato in giro le tavole di distribuzione normale standardizzata che potrebbero fare al caso mio... il problema è che non ne ho trovate che arrivino fino al valore $-7$ ...
Avevo pensato anche di provare questo approccio $ Z=(X-mu)/sigma$ con $mu = -7$ e $ sigma = sqrt(Var[Z]) = sqrt(13,84) = 3,72$ ottenendo:
$ P(Z<=-7) = P(((Z-mu)/sigma) <= ((-7 -(-7))/(3,72))) = ... $
ma non so se l'approccio sia corretto.
L'esercizio mi chiede di calcolare $P(Z<= -7)$ e prima di chiedere ho pensato bene di informarmi prima in internet dato che a lezione esercizi in merito non ne abbiamo fatti... Ho trovato in giro le tavole di distribuzione normale standardizzata che potrebbero fare al caso mio... il problema è che non ne ho trovate che arrivino fino al valore $-7$ ...
Avevo pensato anche di provare questo approccio $ Z=(X-mu)/sigma$ con $mu = -7$ e $ sigma = sqrt(Var[Z]) = sqrt(13,84) = 3,72$ ottenendo:
$ P(Z<=-7) = P(((Z-mu)/sigma) <= ((-7 -(-7))/(3,72))) = ... $
ma non so se l'approccio sia corretto.
Le tavole che hai visto si riferiscono ad una normale standard, ovvero ad una $N(0;1)$ cioè una normale di media zero e varianza 1 la cui funzione di ripartizione (cioè il valore che leggi nel corpo della tavola) si indica con $Phi(.)$
Per note proprietà, se $X$ e $Y$ sono gaussiane allora anche $Z=aX+bY$ lo è. Quindi la tua $Z=X-2Y~N(-7;13,84)$
E quindi $mathbb{P}[Z<= -7]=Phi(0/(3,72))=Phi(0)=0,5$
In questo caso le tavole non servono nemmeno perché si tratta esattamente di mezza distribuzione...comunque usa pure le tavole per prendere confidenza
NOTA BENE
Le tavole vanno in genere da $[-3;3]$ perché $Phi(-3) rarr 0$ mentre $Phi(3)rarr1$. Se dovessi calcolare $mathbb(P)[Z<-21]$ con $Z~N(0;1)$ verrebbe zero.
La maggior parte delle tavole tabulano solo la parte positiva della variabile perché la parte negativa si ricava per simmetria (la gaussiana è funzione pari).
Quindi ad esempio, $Phi(-1,96)=1-Phi(1,96)=1-0.975=0.025$
"tommik":
...
Buongiorno tommik
perfetto,tutto chiarissimo grazie mille per la chiarezza e per la disponibilità mi sei stato di grande aiuto Buona giornata.
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