Calcolo funzione gamma per valori con la virgola
Ciao, svolgendo un esercizio di statistica mi sono trovata a dover calcolare il valore della funzione gamma in 1.4
$$\Gamma(1.4)$$
Leggendo vari dispense e appunti tutti dicono che è possibile farlo solo per valori interi e non con la virgola.
Ma allora nel mio caso come faccio? Non posso arrivare nemmeno ad un'approssimazione?
Per essere più precisa, il problema deriva dal dover calcolare l'affidabilità di un componente che ha distribuzione di Weibull con parametro $\beta=2.5$ e valore medio 1840 giorni.
Sapendo che la funzione affidabilità di una Weibull è
$$R(t)=e^{-\left(\frac{t}{\alpha}\right)^{\beta}}$$
e che il valore medio è pari a
$$\alpha\Gamma\left(1+\frac{1}{\beta}\right)$$
mi ritrovo come incognita il termine
$$\Gamma\left(1+\frac{1}{\beta}\right)=\Gamma(1.4)$$
$$\Gamma(1.4)$$
Leggendo vari dispense e appunti tutti dicono che è possibile farlo solo per valori interi e non con la virgola.
Ma allora nel mio caso come faccio? Non posso arrivare nemmeno ad un'approssimazione?
Per essere più precisa, il problema deriva dal dover calcolare l'affidabilità di un componente che ha distribuzione di Weibull con parametro $\beta=2.5$ e valore medio 1840 giorni.
Sapendo che la funzione affidabilità di una Weibull è
$$R(t)=e^{-\left(\frac{t}{\alpha}\right)^{\beta}}$$
e che il valore medio è pari a
$$\alpha\Gamma\left(1+\frac{1}{\beta}\right)$$
mi ritrovo come incognita il termine
$$\Gamma\left(1+\frac{1}{\beta}\right)=\Gamma(1.4)$$
Risposte
Premesso che avrei potuto evitare di rispondere, dato che son tutte cose che trovi subito e facilmente sulla rete, ma visto che oggi ho un po' di tempo libero.....
Il valore di $Gamma(alpha)$ è noto per valori interi di $alpha$ (per una facile regola ricorsiva[nota]$Gamma(alpha+1)=int_0^(+oo)x^alpha e^(-x)dx=-e^(-x)x^alpha]_0^(+oo)-int_0^(+oo)-e^(-x)alphax^(alpha-1)dx=alphaint_0^(+oo)x^(alpha-1)e^(-x)dx=alphaGamma(alpha)$
e così via....[/nota]) oppure per multipli di $1/2$ in virtù dellaregola ricorsiva e della facile dimostrazione per cui $Gamma(1/2)=sqrt(pi)$
per gli altri valori non interi si può risolvere l'integrale, con metodi numerici o come vuoi...
$Gamma(1.4)=int_(0)^(+oo)x^(0.4)e^(-x)dx=0.887264$
Per approssimare tale integrale, essendo noto che $Gamma(z+1)=z!$ la prima cosa che mi viene in mente è utilizzare appunto l'approssimazione di $n!$ con la nota formula di Stirling
$Gamma(z+1)=z!~ sqrt(2piz)(z/e)^z$
anche se con un valore di $z$ così basso l'approssimazione non è un gran che
Il valore di $Gamma(alpha)$ è noto per valori interi di $alpha$ (per una facile regola ricorsiva[nota]$Gamma(alpha+1)=int_0^(+oo)x^alpha e^(-x)dx=-e^(-x)x^alpha]_0^(+oo)-int_0^(+oo)-e^(-x)alphax^(alpha-1)dx=alphaint_0^(+oo)x^(alpha-1)e^(-x)dx=alphaGamma(alpha)$
e così via....[/nota]) oppure per multipli di $1/2$ in virtù dellaregola ricorsiva e della facile dimostrazione per cui $Gamma(1/2)=sqrt(pi)$
per gli altri valori non interi si può risolvere l'integrale, con metodi numerici o come vuoi...
$Gamma(1.4)=int_(0)^(+oo)x^(0.4)e^(-x)dx=0.887264$
Per approssimare tale integrale, essendo noto che $Gamma(z+1)=z!$ la prima cosa che mi viene in mente è utilizzare appunto l'approssimazione di $n!$ con la nota formula di Stirling
$Gamma(z+1)=z!~ sqrt(2piz)(z/e)^z$
anche se con un valore di $z$ così basso l'approssimazione non è un gran che
Si ok volevo semplicemente una conferma del fatto che non esistevano metodi algebrici per arrivare ad un risultato senza approssimazioni.
Grazie!
Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo