Calcolo distribuzioni marginali
Salve a tutti.
Ho la seguente distribuzione di probabilità congiunta
$F_{XY}(x; y) ={ ( 0 if x<0 text{ oppure } y<0),( xy if (x; y) in [0;1]xx[0;1] ),( 1 if text{altrove} ):}$.
Ora devo calcolare le distribuzioni marginali $F_X(x)=F_{XY}(x; +oo)$ ed $F_Y(y)=F_{XY}(+oo; y)$. Nei miei appunti ho scritto
$F_X(x) ={ ( 1 if text{x, y}>1),( x if x in [0;1] text{ e } y>1 ),( 0 if x<0 text{ e } y>1 ):}$
$F_Y(y) ={ ( 1 if text{x, y}>1),( y if y in [0;1] text{ e } x>1 ),( 0 if y<0 text{ e } x>1 ):}$,
solo che non riesco a convincermi della loro esattezza. Ad esempio, se volessi calcolare $F_X(x)$, direi che
$F_(XY)(x; y)=1$ per $x>1$, $0<=x<=1$ ed $y>1$, e quindi $F_(XY)(x; +oo)=lim_(y->+oo)F_(XY)(x; y)=lim_(y->+oo)1=1$
per $x>1$ e $0<=x<=1$, mentre $F_(XY)(x; y)=0$ per $x<0$ e $y>1$ e quindi
$F_(XY)(x; +oo)=lim_(y->+oo)F_(XY)(x; y)=lim_(y->+oo)0=0$ per $x<0$.
Mi potete spiegare qual è il procedimento esatto per calcolare questi due limiti ?
Grazie in anticipo.
Ho la seguente distribuzione di probabilità congiunta
$F_{XY}(x; y) ={ ( 0 if x<0 text{ oppure } y<0),( xy if (x; y) in [0;1]xx[0;1] ),( 1 if text{altrove} ):}$.
Ora devo calcolare le distribuzioni marginali $F_X(x)=F_{XY}(x; +oo)$ ed $F_Y(y)=F_{XY}(+oo; y)$. Nei miei appunti ho scritto
$F_X(x) ={ ( 1 if text{x, y}>1),( x if x in [0;1] text{ e } y>1 ),( 0 if x<0 text{ e } y>1 ):}$
$F_Y(y) ={ ( 1 if text{x, y}>1),( y if y in [0;1] text{ e } x>1 ),( 0 if y<0 text{ e } x>1 ):}$,
solo che non riesco a convincermi della loro esattezza. Ad esempio, se volessi calcolare $F_X(x)$, direi che
$F_(XY)(x; y)=1$ per $x>1$, $0<=x<=1$ ed $y>1$, e quindi $F_(XY)(x; +oo)=lim_(y->+oo)F_(XY)(x; y)=lim_(y->+oo)1=1$
per $x>1$ e $0<=x<=1$, mentre $F_(XY)(x; y)=0$ per $x<0$ e $y>1$ e quindi
$F_(XY)(x; +oo)=lim_(y->+oo)F_(XY)(x; y)=lim_(y->+oo)0=0$ per $x<0$.
Mi potete spiegare qual è il procedimento esatto per calcolare questi due limiti ?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao, innanzitutto grazie della risposta.
Non capisco due cose. Se $Y in [0; 1]$, come facciamo a porre $Y = +oo$ ? E poi perché in $F_X(X)=F_(XY)(X, 1)$ si ha $Y=1$ ? In quest'ultima domanda, per caso c'entra che se $y=F_Y(y)=Pr{Y<=y}$ e noi poniamo $y=+oo$ allora $Pr{Y<=y=+oo}=1$ ?
"stenford":
Perciò senza considerare i due casi banali ottieni che considerando $Y∈[0,1]$ ottieni $F_X(X)=F_(XY)(X,1)=x⋅1=x$
Non capisco due cose. Se $Y in [0; 1]$, come facciamo a porre $Y = +oo$ ? E poi perché in $F_X(X)=F_(XY)(X, 1)$ si ha $Y=1$ ? In quest'ultima domanda, per caso c'entra che se $y=F_Y(y)=Pr{Y<=y}$ e noi poniamo $y=+oo$ allora $Pr{Y<=y=+oo}=1$ ?
"brownbetty":
Ciao, innanzitutto grazie della risposta.
Perciò senza considerare i due casi banali ottieni che considerando Y∈[0,1] ottieni FX(X)=FXY(X,1)=x⋅1=x
Non capisco due cose. Se $Y in [0; 1]$, come facciamo a porre $Y = +oo$ ? E poi perché in $F_X(X)=F_(XY)(X, 1)$ si ha $Y=1$ ? In quest'ultima domanda, per caso c'entra che se $y=F_Y(y)=Pr{Y<=y}$ e noi poniamo $y=+oo$ allora $Pr{Y<=y=+oo}=1$ ?
Per sbaglio ho cancellato la risposta comunque la marginale si capisce meglio con le densità marginali:
Posta $f_(XY)(X,Y)$ avremo che $ f_X(X)=int_(R) f_(XY)(X,Y) dy $
Ovvero integri su tutto $R$ rispetto alla variabile $Y$. Il parallelismo con la funzione cumulativa è evidente in quanto $f_X(X)=(F_X(X))^{\prime}$
Per il corrispondente nelle funzioni di ripartizioni ottieni che $F_(X)(X)=F_(XY)(X,1) $ se $Y in [0,1] $ in quanto(facendo il parallelismo con l'integrale della densità) per calcolare l'area sottostante a $ [0,1]$ considerando come incognita $ Y$ è l'equivalente di $F_(XY)(X,1) $.
Considera i vari casi $ (-oo,0), [0,1], (1,+oo)$ in quanto la funzione di ripartizione è diversa da caso a caso, ma a parte le due banali, l'unica da analizzare è $ [0,1]$
Sinceramente le marginali da te ottenute non mi convincono in quanto vi sono ancora condizioni sulla seconda variabile che non dovrebbero esserci, in quanto si è "integrato"(passami il termine accettabile nel caso di funzioni di densità) eliminando totalmente condizioni su tale variabile.
Per quanto riguarda i limiti delle funzioni di ripartizione in base a condizioni sulle variabili, fai un grafico della $F_(XY)(X,Y)$ essa sarà nulla nel 2°,3°,4° quadrante perchè $x<0 vv y<0$ , sarà uguale a $xy $ nel quadrato $[0,1]$x$[0,1]$ e sarà 1 nel primo quadrante meno questo quadratino.
La funzione di ripartizione considerala come una vera e propria funzione,quindi se vuoi fare i limiti rifatti al grafico ed alle condizioni di base
In generale $F_X(t)=Prob(X<=t)$
Per sbaglio ho cancellato la risposta comunque la marginale si capisce meglio con le densità marginali:
Posta $f_(XY)(X,Y)$ avremo che $ f_X(X)=int_(R) f_(XY)(X,Y) dy $
Ovvero integri su tutto $R$ rispetto alla variabile $Y$. Il parallelismo con la funzione cumulativa è evidente in quanto $f_X(X)=(F_X(X))^{\prime}$
--------------------------------------------(fine quote)
[\quote]
Ho appena calcolato che
$ f_X(x) = int_(-oo)^(+oo) f_(XY)(x; y) dy ={ ( 0 if x<0 ),( 1 if 0<=x<=1 ),( 0 if x>1 ):} $
e questo risultato penso proprio sia giusto perché me lo ritrovo in seguito negli appunti.
[quote]
Per il corrispondente nelle funzioni di ripartizioni ottieni che $F_(X)(X)=F_(XY)(X,1) $ se $Y in [0,1] $ in quanto(facendo il parallelismo con l'integrale della densità) per calcolare l'area sottostante a $ [0,1]$ considerando come incognita $ Y$ è l'equivalente di $F_(XY)(X,1) $.
Non capisco.
Sinceramente le marginali da te ottenute non mi convincono in quanto vi sono ancora condizioni sulla seconda variabile che non dovrebbero esserci, in quanto si è "integrato"(passami il termine accettabile nel caso di funzioni di densità) eliminando totalmente condizioni su tale variabile.
Io calcolo $lim_(y->+oo)F_(XY)$ considerando $F_(XY)$ per $y>1$, perché penso che $y->+oo$ ha senso quando $y>1$.
[/quote]
Per quanto riguarda i limiti delle funzioni di ripartizione in base a condizioni sulle variabili, fai un grafico della $F_(XY)(X,Y)$ essa sarà nulla nel 2°,3°,4° quadrante perchè $x<0 vv y<0$ , sarà uguale a $xy $ nel quadrato $[0,1]$x$[0,1]$ e sarà 1 nel primo quadrante meno questo quadratino.
La funzione di ripartizione considerala come una vera e propria funzione,quindi se vuoi fare i limiti rifatti al grafico ed alle condizioni di base
In generale $F_X(t)=Prob(X<=t)$
Si, io $F_(XY)$ l'ho considerata finora come una funzione scalare di due variabili, ed il suo limite per $y->+oo$ l'ho fatto lungo le restrizioni corrispondenti alle rette $x=t$, nei casi $t<0$, $0<=t<=1$ e $t>1$.
$ F_X(X) $ è la funzione cumulativa. $ F_X(t)=int_(-oo)^(t) f_X(X) dx $
In questo particolare caso hai che $ F_(XY)(X,Y)=0$ se $ Y<0$ quindi per calcolare in [0,1] la marginale:
$ F_X(X)=F_(XY)(X,1)=int_(-oo)^(1) f_(XY)(X,Y) dy=int_(-oo)^(0) f_(XY)(X,Y) dy+int_(0)^(1) f_(XY)(X,Y) dy=0+int_(0)^(1) f_(XY)(X,Y) dy=F_(XY)(X,1)$
Per quanto riguarda i limiti è un semplice studio di una funzione in base ai suoi valori, sapendo che la funzione di ripartizione per definizione deve essere non decrescente
In questo particolare caso hai che $ F_(XY)(X,Y)=0$ se $ Y<0$ quindi per calcolare in [0,1] la marginale:
$ F_X(X)=F_(XY)(X,1)=int_(-oo)^(1) f_(XY)(X,Y) dy=int_(-oo)^(0) f_(XY)(X,Y) dy+int_(0)^(1) f_(XY)(X,Y) dy=0+int_(0)^(1) f_(XY)(X,Y) dy=F_(XY)(X,1)$
Per quanto riguarda i limiti è un semplice studio di una funzione in base ai suoi valori, sapendo che la funzione di ripartizione per definizione deve essere non decrescente
Ok, adesso ho capito 
Grazie di tutto!
Grazie di tutto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo