Calcolo covarianza prodotto
Salve a tutti,
dovrei calcolare la seguente covarianza:
$Cov[ X \cdot Y,X \cdot Z ]$
Ho provato anche a semplificare assumendo che Y è indipendente da X e Z, X e Z sono dipendenti.
Parto dalla $Cov[ X \cdot Y,X \cdot Z ]=E[XYXZ]-E[XY]E[XZ]$
ma non arrivo a nessuna soluzione.
Mi potete dare un input?
Ciao K.
dovrei calcolare la seguente covarianza:
$Cov[ X \cdot Y,X \cdot Z ]$
Ho provato anche a semplificare assumendo che Y è indipendente da X e Z, X e Z sono dipendenti.
Parto dalla $Cov[ X \cdot Y,X \cdot Z ]=E[XYXZ]-E[XY]E[XZ]$
ma non arrivo a nessuna soluzione.
Mi potete dare un input?
Ciao K.
Risposte
Ciao Benvenuto!
In che senso devi calcolarla.....
quella che hai esposto è la sua definizione, cosa è che non torna? Devi dimostrarla? Hai delle distribuzioni con le loro leggi e devi calcolarne la covarianza. Sii più specifico nel tuo dubbio.
In che senso devi calcolarla.....
quella che hai esposto è la sua definizione, cosa è che non torna? Devi dimostrarla? Hai delle distribuzioni con le loro leggi e devi calcolarne la covarianza. Sii più specifico nel tuo dubbio.
Ciao,
scusa sono nuova del forum!
Nel caso in cui Y è indipendente da X e Z trovo:
$Cov[XY,XZ] = E[Y]E[Z]Var[X] - E[X]E[Y]Cov[X,Z] + E[Y]Cov[X^{2},Z]$
Vorrei sapere se esiste una formula per semplificare, in modo da non avere la covarianza di $X^{2}$.
Grazie K.
scusa sono nuova del forum!
Nel caso in cui Y è indipendente da X e Z trovo:
$Cov[XY,XZ] = E[Y]E[Z]Var[X] - E[X]E[Y]Cov[X,Z] + E[Y]Cov[X^{2},Z]$
Vorrei sapere se esiste una formula per semplificare, in modo da non avere la covarianza di $X^{2}$.
Grazie K.
"Kalypso":
Ciao,
scusa sono nuova del forum!
Nel caso in cui Y è indipendente da X e Z trovo:
$Cov[XY,XZ] = E[Y]E[Z]Var[X] - E[X]E[Y]Cov[X,Z] + E[Y]Cov[X^{2},Z]$
Vorrei sapere se esiste una formula per semplificare, in modo da non avere la covarianza di $X^{2}$.
Grazie K.
mmm mi son perso qualcosa, mostrami i passaggi non mi torna quel $+$.
Ecco tutti i passaggi:
$Cov[XY,XZ]=E[XYXZ]-E[XY]E[XZ]=$
$=E[X^{2}Z]E[Y]-E[X]E[Y][E[X]E[Z]+Cov[X,Z]]=$
$=[E[X^{2}]E[Z]+Cov[X^{2},Z]]E[Y]-[E[X]]^{2}E[Y]E[Z]-E[X]E[Y]Cov[X,Z]=$
$=E[X^{2}]E[Y]E[Z]+Cov[X^{2},Z]E[Y]-[E[X]]^{2}E[Y]E[Z]-E[X]E[Y]Cov[X,Z]=$
$=E[Y]E[Z]Var[X]+E[Y]Cov[X^{2},Z]-E[X]E[Y]Cov[X,Z]$
Cosa ne pensi?
Ciao K.
$Cov[XY,XZ]=E[XYXZ]-E[XY]E[XZ]=$
$=E[X^{2}Z]E[Y]-E[X]E[Y][E[X]E[Z]+Cov[X,Z]]=$
$=[E[X^{2}]E[Z]+Cov[X^{2},Z]]E[Y]-[E[X]]^{2}E[Y]E[Z]-E[X]E[Y]Cov[X,Z]=$
$=E[X^{2}]E[Y]E[Z]+Cov[X^{2},Z]E[Y]-[E[X]]^{2}E[Y]E[Z]-E[X]E[Y]Cov[X,Z]=$
$=E[Y]E[Z]Var[X]+E[Y]Cov[X^{2},Z]-E[X]E[Y]Cov[X,Z]$
Cosa ne pensi?
Ciao K.
ah ok, simpatici passaggi. Forse ti complichi la vita in alcune parti, ma domani li do un occhio più concreto, ora son un po' annebbiato 
"Kalypso":
Ecco tutti i passaggi:
$Cov[XY,XZ]=E[XYXZ]-E[XY]E[XZ]=$
$=E[X^{2}Z]E[Y]-E[X]E[Y][E[X]E[Z]+Cov[X,Z]]=$
Io mi sono un po' bloccato qui: non so se si possa fare il suddetto passaggio... In particolare $E[XX]=E[X]E[X]$...
Ok ho provato a ricolcolare i primi passi di ciò che hai fatto, e devo dire che ti complichi la vita a dovere. Utilizzi la definzione di covarianza (moltiplicazione di medie) in modo davvero ridondante se non in modo sbagliato (da qui penso il blocco di retrocomputer), perciò bisogna stare attenti, per non ridursi a calcoli lunghi e incomprensibili (cioè non in forma semplice).
Il consiglio che posso darti è di leggerti questo Paper, visto che qualcuno si è già preso il tempo di calcolarsi e spiegarlo non vedo motivo di rifarlo:
On the Exact Covariance of Products of Random Variables di Bohrnstedt and Goldberger
Journal of the American Statistical Association Vol. 64, No. 328, Dec. 1969 (pp. 1439-1442)
(vedi pag. 1441 c'è esattamente ciò che cerchi).
gli autori (su risultati di un certo Goodman) utilizzano un trick per generalizzare i prodotti di più v.a. per questo rende il tutto più semplice ed adattabile a più casi.
se hai problemi scrivi pure qui.
Il consiglio che posso darti è di leggerti questo Paper, visto che qualcuno si è già preso il tempo di calcolarsi e spiegarlo non vedo motivo di rifarlo:
On the Exact Covariance of Products of Random Variables di Bohrnstedt and Goldberger
Journal of the American Statistical Association Vol. 64, No. 328, Dec. 1969 (pp. 1439-1442)
(vedi pag. 1441 c'è esattamente ciò che cerchi).
gli autori (su risultati di un certo Goodman) utilizzano un trick per generalizzare i prodotti di più v.a. per questo rende il tutto più semplice ed adattabile a più casi.
se hai problemi scrivi pure qui.
Ok, grazie! Ciao K.
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