Calcolo combinatorio per quesito
Ciao ragazzi,
Ho bisogno che qualcuno di voi mi aiuti a risolvere questo problema:
Un negozio di alimentari ha 4 categorie di prodotti: vini, formaggi, salumi, conserve.
Nella categoria vini ci sono 2800 tipologie; nella categoria formaggi ci sono 300 tipologie; nella categoria salumi ci sono 150 tipologie e nella categoria conserve ci sono 350 tipologie.
Per ogni categoria è possibile scegliere fino a 2 tipologie e si possono abbinare anche 2 sole categorie (es 2 vini, 2 formaggi; 1 salume, 1 conserva) .
Quanti abbinamenti sono possibili?
Vi ringrazio, mi ci sto scervellando ma credo di sbagliare qualcosa, non so bene quale regola applicare.
Ps: non è un esercizio e io non studio matematica, mi sono trovato di fronte a questa domanda su un libro di cucina (sono un cuoco), era senza risposta perchè inclusa in un discorso meramente esemplificativo (la varietà dei prodotti ecc). Su questo libro c'è scritto che "applicando le regole di calcolo combinatorio scoprirete che le possibilità sono enormi!". Mi ha incuriosito e ho provato a risolvere questo problema leggendo un po' di info su internet, ma non ci ho capito un granché...
Mi vorrei solo togliere la curiosità di sapere il risultato, so che per voi magari non è stimolante o non c'entra molto con il forum, ma non so proprio a chi chiedere!
Scusatemi anzi per il disturbo.
Pps: la sez presentazioni non funge, quindi approfitto di questo post per salutarvi. Come avrete intuito il mio nick è relativo alle mie capacità matematiche
Ho bisogno che qualcuno di voi mi aiuti a risolvere questo problema:
Un negozio di alimentari ha 4 categorie di prodotti: vini, formaggi, salumi, conserve.
Nella categoria vini ci sono 2800 tipologie; nella categoria formaggi ci sono 300 tipologie; nella categoria salumi ci sono 150 tipologie e nella categoria conserve ci sono 350 tipologie.
Per ogni categoria è possibile scegliere fino a 2 tipologie e si possono abbinare anche 2 sole categorie (es 2 vini, 2 formaggi; 1 salume, 1 conserva) .
Quanti abbinamenti sono possibili?
Vi ringrazio, mi ci sto scervellando ma credo di sbagliare qualcosa, non so bene quale regola applicare.
Ps: non è un esercizio e io non studio matematica, mi sono trovato di fronte a questa domanda su un libro di cucina (sono un cuoco), era senza risposta perchè inclusa in un discorso meramente esemplificativo (la varietà dei prodotti ecc). Su questo libro c'è scritto che "applicando le regole di calcolo combinatorio scoprirete che le possibilità sono enormi!". Mi ha incuriosito e ho provato a risolvere questo problema leggendo un po' di info su internet, ma non ci ho capito un granché...
Mi vorrei solo togliere la curiosità di sapere il risultato, so che per voi magari non è stimolante o non c'entra molto con il forum, ma non so proprio a chi chiedere!
Scusatemi anzi per il disturbo.
Pps: la sez presentazioni non funge, quindi approfitto di questo post per salutarvi. Come avrete intuito il mio nick è relativo alle mie capacità matematiche
Risposte
A me sembra un bel modo per buttare dentro paroloni senza veramente la necessità...
"Дэвид":
A me sembra un bel modo per buttare dentro paroloni senza veramente la necessità...
Perché? Per risolvere il problema (in modo rigoroso) occorre il calcolo combinatorio e così facendo si scopre che effettivamente il numero di combinazioni è elevato.
Solo che a me non è ben chiaro il problema. Non ho capito come vanno fatti gli abbinamenti. Cioè, minimo e massimo quanti abbinamenti per categoria devo scegliere? Mi pare di capire, 0, 1 o 2.
Cioè: [0,1 o 2 vini] + [0,1 o 2 formaggi] + [0, 1, o 2 salumi]+ [0, 1, o 2 conserve]. Corretto?
Per esempio posso avere 0vini, 2form, 1sal, 2cons
o anche 1vino, 0form,2sal,0cons
giusto?
Se è come ho capito, per ogni singola categoria (cioè vino, formaggio ecc), se N è il numero di tipologie (cioè 2800, 300...) per quella categoria, hai $0 + N + (N/2)(N-1)$ scelte
Quindi, per il vino ad esempio, hai $2800+ (2800/2)(2799) = 3921400$ scelte, che in realtà sono $3921400+1=3921401$ possibilità (hai anche la possibilità di scegliere 0 vini).
Per trovare le combinazioni, cioè tutti gli abbinamenti che puoi fare tra tutti i prodotti devi MOLTIPLICARE i numeri di possibilità delle 4 categorie che trovi come indicato su.
(possibilità vini * possibilità formaggi * ...) $-1-2800-300-150-350$,
Sottraggo quei valori alla fine, perché nel prodotto includeresti i casi 0,0,0,0 che non ti interessa, e i casi in cui scegli solo 1 vino e non lo abbini a niente, solo un formaggio e non lo abbini, 1 salume...
Anzi mi sa che bisogna sottrarre un numero ancora più grande. Ma dipende dagli abbinamenti: cioè puoi scegliere solo 2 vini e nessun formaggio, nessun salume e nessuna conserva? Se no, allora vanno eliminati altri casi. Cioè vanno eliminati (alla fine dopo il prodotto) altri $(N/2)(N-1)$ possibilità per ogni categoria
Nota: $(N/2)(N-1)$ viene da $(N!)/(2!*(N-2)!) =$
$=(N*(N-1)*(N-2)!)/(2*(N-2)!)=$
$=(N/2)(N-1)$
Se vuoi capire i perché dei vari passaggi, dove si somma, perché si moltiplica, i fattoriali ecc. chiedi pure
Quindi, per il vino ad esempio, hai $2800+ (2800/2)(2799) = 3921400$ scelte, che in realtà sono $3921400+1=3921401$ possibilità (hai anche la possibilità di scegliere 0 vini).
Per trovare le combinazioni, cioè tutti gli abbinamenti che puoi fare tra tutti i prodotti devi MOLTIPLICARE i numeri di possibilità delle 4 categorie che trovi come indicato su.
(possibilità vini * possibilità formaggi * ...) $-1-2800-300-150-350$,
Sottraggo quei valori alla fine, perché nel prodotto includeresti i casi 0,0,0,0 che non ti interessa, e i casi in cui scegli solo 1 vino e non lo abbini a niente, solo un formaggio e non lo abbini, 1 salume...
Anzi mi sa che bisogna sottrarre un numero ancora più grande. Ma dipende dagli abbinamenti: cioè puoi scegliere solo 2 vini e nessun formaggio, nessun salume e nessuna conserva? Se no, allora vanno eliminati altri casi. Cioè vanno eliminati (alla fine dopo il prodotto) altri $(N/2)(N-1)$ possibilità per ogni categoria
Nota: $(N/2)(N-1)$ viene da $(N!)/(2!*(N-2)!) =$
$=(N*(N-1)*(N-2)!)/(2*(N-2)!)=$
$=(N/2)(N-1)$
Se vuoi capire i perché dei vari passaggi, dove si somma, perché si moltiplica, i fattoriali ecc. chiedi pure
Qui ci vorrebbe supepippone che è una specialista di queste cose ...
Viene lunghetto ma non è complicato ...
Partiamo dal caso con tutte e quattro le categorie presenti, in questa situazione abbiamo $16$ combinazioni che possiamo rappresentare con codici di quattro cifre usando solo l'$1$ e il $2$ e mi spiego ...
Per esempio il codice $1211$ rappresenta la combinazione con $1$ tipo di vino, $2$ tipi di formaggio, $1$ tipo di salume ed $1$ un tipo di conserva mentre il codice $2121$ rappresenta la combinazione con $2$ tipi di vino, $1$ tipo di formaggio, $2$ tipi di salumi ed $1$ tipo di conserva.
Per ciascuna delle sedici combinazioni possiamo calcolarci le possibilità in questo modo: prendiamo la combinazione $1211$, possiamo scegliere $1$ tipo di vino in $2800$ modi diversi mentre $2$ tipi di formaggio su $300$ possono essere scelti in $(300*299)/2=44850$ modi diversi e poi per i salumi avremo $150$ possibilità mentre per le conserve ne avremo $350$; in totale le possibilità per questa sola combinazione sono $2800*44850*150*350=44.100.000.000$.
Altro esempio, la combinazione $2121$ porterà altre $3918600*300*11175*350=4.597.987.275.000.000$ possibilità, e così via ...
Sommando le possibilità di tutte e sedici le combinazioni avremo il totale di tutti i possibili casi con tutte e quattro le categorie presenti (per la cronaca sono $123.163.571.753.381.000.000$ ... e mancano ancora quelle con tre e con due ...).
Usando lo stesso metodo con quelle da tre (rappresentabili allo stesso modo usando lo $0$ quando la categoria è assente) avremo $4$ sottocasi con $8$ combinazioni per ciascuno per un totale di $32$ combinazioni (da calcolare come prima), mentre per quelle da due, avremo $6$ sottocasi con $4$ combinazioni ciascuno per un totale di $24$ (sempre da calcolare come prima).
Cordialmente, Alex
Viene lunghetto ma non è complicato ...
Partiamo dal caso con tutte e quattro le categorie presenti, in questa situazione abbiamo $16$ combinazioni che possiamo rappresentare con codici di quattro cifre usando solo l'$1$ e il $2$ e mi spiego ...
Per esempio il codice $1211$ rappresenta la combinazione con $1$ tipo di vino, $2$ tipi di formaggio, $1$ tipo di salume ed $1$ un tipo di conserva mentre il codice $2121$ rappresenta la combinazione con $2$ tipi di vino, $1$ tipo di formaggio, $2$ tipi di salumi ed $1$ tipo di conserva.
Per ciascuna delle sedici combinazioni possiamo calcolarci le possibilità in questo modo: prendiamo la combinazione $1211$, possiamo scegliere $1$ tipo di vino in $2800$ modi diversi mentre $2$ tipi di formaggio su $300$ possono essere scelti in $(300*299)/2=44850$ modi diversi e poi per i salumi avremo $150$ possibilità mentre per le conserve ne avremo $350$; in totale le possibilità per questa sola combinazione sono $2800*44850*150*350=44.100.000.000$.
Altro esempio, la combinazione $2121$ porterà altre $3918600*300*11175*350=4.597.987.275.000.000$ possibilità, e così via ...
Sommando le possibilità di tutte e sedici le combinazioni avremo il totale di tutti i possibili casi con tutte e quattro le categorie presenti (per la cronaca sono $123.163.571.753.381.000.000$ ... e mancano ancora quelle con tre e con due ...
).Usando lo stesso metodo con quelle da tre (rappresentabili allo stesso modo usando lo $0$ quando la categoria è assente) avremo $4$ sottocasi con $8$ combinazioni per ciascuno per un totale di $32$ combinazioni (da calcolare come prima), mentre per quelle da due, avremo $6$ sottocasi con $4$ combinazioni ciascuno per un totale di $24$ (sempre da calcolare come prima).
Cordialmente, Alex
Purtroppo sono numeri troppo grandi per Excel quindi devo fare una correzione: il totale (per $4$ categorie) è $123.163.571.753.381.250.000$ ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Visto che sono stato coinvolto.....
Seguendo lo schema di Alex abbiamo i seguenti casi (tra parentesi le varianti possibili):
2222 (1)
2221 (4)
2220 (4)
2211 (6)
2210 (12)
2200 (6)
2111 (4)
2110 (12)
2100 (12)
1111 (1)
1110 (4)
1100 (6)
Totale varianti 72.
Se non è riuscito Alex a fare il calcolo con excel, figuriamoci io con la mia modesta calcolatrice da tavolo....
A titolo di esempio solo la prima (2222) si sviluppa così:
$(2.800*2.799*300*299*150*149*350*349)/(2^4)$
Che francamente non ho idea di quanto faccia. Anche se presumo abbia 21 cifre
Seguendo lo schema di Alex abbiamo i seguenti casi (tra parentesi le varianti possibili):
2222 (1)
2221 (4)
2220 (4)
2211 (6)
2210 (12)
2200 (6)
2111 (4)
2110 (12)
2100 (12)
1111 (1)
1110 (4)
1100 (6)
Totale varianti 72.
Se non è riuscito Alex a fare il calcolo con excel, figuriamoci io con la mia modesta calcolatrice da tavolo....
A titolo di esempio solo la prima (2222) si sviluppa così:
$(2.800*2.799*300*299*150*149*350*349)/(2^4)$
Che francamente non ho idea di quanto faccia. Anche se presumo abbia 21 cifre
Il calcolo l'avevo fatto ma volevo ricontrollarlo in altro modo perché proprio quel numero lì ($2222$) Excel non lo sopportava ... ... che poi, per inciso, viene $119.951.142.533.381.250.000$ ...
Le combinazioni per tre categorie sono $15.639.758.932.218.700$ mentre per due categorie sono $466.313.360.625$ per un "totalone" di $123.179.211.978.626.829.325$.
Direi che hai possibilità di scelta ...
Cordialmente, Alex
... che poi, per inciso, viene $119.951.142.533.381.250.000$ ...Le combinazioni per tre categorie sono $15.639.758.932.218.700$ mentre per due categorie sono $466.313.360.625$ per un "totalone" di $123.179.211.978.626.829.325$.
Direi che hai possibilità di scelta ...
Cordialmente, Alex
Certo, che serva il calcolo combinatorio è vero, ma che serva scrivere "calcolo combinatorio" in un libro di cucina mi sembra ridondante. Era solo per dire naturalmente, alla fine conta che le ricette siano interessanti!
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Ciao ragazzi! Grazie a tutti per le risposte intanto!
Adesso con calma le leggerò tutte, ho visto che qualcuno aveva dei dubbi sulla domanda del quesito cercherò di chiarirli per quanto possibile!
Siete stati veramente gentilissimi, da solo non ci sarei MAI riuscito
Adesso con calma le leggerò tutte, ho visto che qualcuno aveva dei dubbi sulla domanda del quesito cercherò di chiarirli per quanto possibile!
Siete stati veramente gentilissimi, da solo non ci sarei MAI riuscito
Allora, riepilogo meglio il quesito e chiedo conferma del risultato complessivo. Dunque, avendo a disposizione 4 categorie di prodotti di cui:
2800 tipologie di vini
300 tipologie di formaggi
150 tipologie di salumi
350 tipologie di conserve e preparati
E considerando che :
- di ogni categoria si possono scegliere fino a due tipologie (distinte)
- si possono abbinare: 4 categorie (per esempio: 2 vini 2 salumi 2 formaggi e 2 conserve oppure 2 vini,
1 vino 2 salami 2 formaggi e 2 conserve, oppure 2 vini 2 conserve 1 salume e 1 formaggio, oppure 2 vini 1 salame 1 formaggio e 1 conserva, oppure 1 vino 1 salume 1 formaggio e 1 conserva) ,
3 categorie (per esempio: 2 salumi 1 vino e 1 formaggio, oppure 2 formaggi 2 conserve 2 vini, oppure 2 vini 2 formaggi e 1 salume, oppure 1 vino 1 salume ed 1 formaggio),
2 categorie (per esempio: 2 vini e 2 salumi, oppure 2 formaggi e 1 conserva oppure 1 formaggio e 1 conserva)
Il numero totale di abbinamenti possibili (quindi sommando quelli di 4+3+2 categorie) è:
123.179.211.978.626.829.325
Giusto?
Grazie ancora a tutti!!! Siete fenomenali !!!
2800 tipologie di vini
300 tipologie di formaggi
150 tipologie di salumi
350 tipologie di conserve e preparati
E considerando che :
- di ogni categoria si possono scegliere fino a due tipologie (distinte)
- si possono abbinare: 4 categorie (per esempio: 2 vini 2 salumi 2 formaggi e 2 conserve oppure 2 vini,
1 vino 2 salami 2 formaggi e 2 conserve, oppure 2 vini 2 conserve 1 salume e 1 formaggio, oppure 2 vini 1 salame 1 formaggio e 1 conserva, oppure 1 vino 1 salume 1 formaggio e 1 conserva) ,
3 categorie (per esempio: 2 salumi 1 vino e 1 formaggio, oppure 2 formaggi 2 conserve 2 vini, oppure 2 vini 2 formaggi e 1 salume, oppure 1 vino 1 salume ed 1 formaggio),
2 categorie (per esempio: 2 vini e 2 salumi, oppure 2 formaggi e 1 conserva oppure 1 formaggio e 1 conserva)
Il numero totale di abbinamenti possibili (quindi sommando quelli di 4+3+2 categorie) è:
123.179.211.978.626.829.325
Giusto?
Grazie ancora a tutti!!! Siete fenomenali !!!
Yes. 
Scusate è possibile che le ultime 3 cifre del numero siano 375 invece di 325?
Da cosa potrebbe dipendere una differenza di 50 abbinamenti?
Su un altro forum mi hanno risposto sbrigativamente solo con il risultato che praticamente è identico a quello che mi avete detto voi, tranne appunto per questa piccola differenza nelle ultime 3 cifre.
Grazie !
Da cosa potrebbe dipendere una differenza di 50 abbinamenti?
Su un altro forum mi hanno risposto sbrigativamente solo con il risultato che praticamente è identico a quello che mi avete detto voi, tranne appunto per questa piccola differenza nelle ultime 3 cifre.
Grazie !
Behhh, onestamente mi sembra che adesso stai un po' esagerando!!!
Ti è stato risposto che il risultato ha 21 cifre, che non è facile da gestire.
Non so come Alex abbia fatto a calcolarlo. Io non ne sarei in grado....
Adesso chiedi come mai c'è una differenza di 50 unità.
Se proprio vuoi controllarne l'esattezza prendi una calcolatrice, e datti da fare.
Buon lavoro.
Luciano
Ti è stato risposto che il risultato ha 21 cifre, che non è facile da gestire.
Non so come Alex abbia fatto a calcolarlo. Io non ne sarei in grado....
Adesso chiedi come mai c'è una differenza di 50 unità.
Se proprio vuoi controllarne l'esattezza prendi una calcolatrice, e datti da fare.
Buon lavoro.
Luciano
"superpippone":
Behhh, onestamente mi sembra che adesso stai un po' esagerando!!!
Ti è stato risposto che il risultato ha 21 cifre, che non è facile da gestire.
Non so come Alex abbia fatto a calcolarlo. Io non ne sarei in grado....
Adesso chiedi come mai c'è una differenza di 50 unità.
Se proprio vuoi controllarne l'esattezza prendi una calcolatrice, e datti da fare.
Buon lavoro.
Luciano
Scusami ma cosa avrei chiesto di tanto esagerato? Il matematico mica sono io! Ho specificato fin da subito che non sono in grado di fare questi calcoli, quindi come puoi dirmi di "darmi da fare"? Io non ho intenzione di inquinare questo posto con una sterile lite, quindi se non ti interessa puoi anche non leggerlo, non succede nulla sai?
Ciao
Ho dato una controllatina ai conti ma non li ho rifatti, non ho trovato errori ... ma non ci metto la mano sul fuoco, dovrei fare i conti a mano per essere sicuro (comunque senza garanzia alcuna) ... 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Grazie Alex, gentilissimo. Ho capito che quindi un'oscillazione piccola sui risultati può esserci quando si parla di numeri così grandi!
No, in teoria no ... anzi, quando si parla di "combinatoria" si dovrebbe indicare correttamente anche la centesima cifra ...
Il problema, come dice giustamente superpippone, sta nella difficoltà "materiale" nel maneggiare numeri così grandi, non nel procedimento; quello che ti abbiamo indicato io e lui è senz'altro corretto, però quando fai settantadue moltiplicazioni con prodotti da quindici cifre in su (e poi sommarli), beh ... non é proprio una passeggiata ...
...
Comunque o è giusto il nostro o è giusto il loro: "tertium non datur" ...
Cordialmente, Alex
Il problema, come dice giustamente superpippone, sta nella difficoltà "materiale" nel maneggiare numeri così grandi, non nel procedimento; quello che ti abbiamo indicato io e lui è senz'altro corretto, però quando fai settantadue moltiplicazioni con prodotti da quindici cifre in su (e poi sommarli), beh ... non é proprio una passeggiata ...
...Comunque o è giusto il nostro o è giusto il loro: "tertium non datur" ...
Cordialmente, Alex
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