Calcolo combinatorio - Formula
Dunque, sto costruendo un programma che, tra le altre cose, si occupa di calcolo delle probabilità di vincere alla lotteria. Il problema è che non me ne intendo di calcolo combinatorio, quindi avrei bisogno di una mano con le formule =)
Indicando con N i numeri totali che possono essere estratti, con C i numeri giocati e con K i numeri che sono stati estratti, quale formula devo usare per trovare le probabilità di indovinare la combinazione?
Mi spiego meglio con l'esempio del Lotto:
N = 90 --> numeri totali
K = 5 ---> numeri che sono stati estratti
C = 10 ---> numeri che ho giocato.
Devo trovare le possibilità di beccare estratto, ambo, terno, quaterna e cinquina ma, come dicevo, non conosco le formule del calcolo combinatorio =)
Grazie in anticipo a chi potrà aiutarmi.
Indicando con N i numeri totali che possono essere estratti, con C i numeri giocati e con K i numeri che sono stati estratti, quale formula devo usare per trovare le probabilità di indovinare la combinazione?
Mi spiego meglio con l'esempio del Lotto:
N = 90 --> numeri totali
K = 5 ---> numeri che sono stati estratti
C = 10 ---> numeri che ho giocato.
Devo trovare le possibilità di beccare estratto, ambo, terno, quaterna e cinquina ma, come dicevo, non conosco le formule del calcolo combinatorio =)
Grazie in anticipo a chi potrà aiutarmi.
Risposte
uhm se ho capito bene..
tu scegli 10 numeri in un gruppo di 90 e vuoi calcolcare la probabilità che tra questi tu possa beccare o ambo o terno o quaterna o cinquina?
mmmm probabilmente c'è un modo di farlo tutti assieme, ma dato che non mi viene in mente ti propongo di considerare i casi disgiunti:
tenendo presente che [tex]Probabilità=\frac{casi \, favorevoli}{casi\, totali}[/tex]
Ambo: tutte le coppie formabili con 10 numeri / coppie totali (su 90 numeri)
[tex]\frac{\binom{10}{2}}{\binom{90}{2}}[/tex]
Terno: tutte le terne formabili con 10 numeri/terne totali
[tex]\frac{\binom{10}{3}}{\binom{90}{3}}[/tex]
Quaterna:
[tex]\frac{\binom{10}{4}}{\binom{90}{4}}[/tex]
Cinquina:
[tex]\frac{\binom{10}{5}}{\binom{90}{5}}[/tex]
tu scegli 10 numeri in un gruppo di 90 e vuoi calcolcare la probabilità che tra questi tu possa beccare o ambo o terno o quaterna o cinquina?
mmmm probabilmente c'è un modo di farlo tutti assieme, ma dato che non mi viene in mente ti propongo di considerare i casi disgiunti:
tenendo presente che [tex]Probabilità=\frac{casi \, favorevoli}{casi\, totali}[/tex]
Ambo: tutte le coppie formabili con 10 numeri / coppie totali (su 90 numeri)
[tex]\frac{\binom{10}{2}}{\binom{90}{2}}[/tex]
Terno: tutte le terne formabili con 10 numeri/terne totali
[tex]\frac{\binom{10}{3}}{\binom{90}{3}}[/tex]
Quaterna:
[tex]\frac{\binom{10}{4}}{\binom{90}{4}}[/tex]
Cinquina:
[tex]\frac{\binom{10}{5}}{\binom{90}{5}}[/tex]
Se non conosci i binomiali fai un fischio che li svolgo 
OK grazie. Magari se li svolgi mi fai un favore, dovrei aver capito come funzionano guardando un attimo su wikipedia, però non vorrei sbagliare 
C'è un altro problema poi... Il fattoriale di 90 come diavolo lo calcolo?
Grazie comunque,
Luca
C'è un altro problema poi... Il fattoriale di 90 come diavolo lo calcolo?
Grazie comunque,
Luca
ehm....
se intendi fare un programma, non dico che devi conoscere alla perfezione la materia, ma come prima cosa al tuo posto (prima di scrivere una sola riga di codice) mi studierei la materia.
se intendi fare un programma, non dico che devi conoscere alla perfezione la materia, ma come prima cosa al tuo posto (prima di scrivere una sola riga di codice) mi studierei la materia.
So come si calcola il fattoriale di 90 (90*89*88*87*86....*1), almeno quello xD Però non riesco a calcolarlo perché è un numero troppo grande... la formula n!/k!(n-k)! la conoscevo già, solo che sia il pc che la calcolatrice mi danno errore di overflow... Pensavo ci fosse una formula semplificata...
"broc93":
So come si calcola il fattoriale di 90 (90*89*88*87*86....*1), almeno quello xD Però non riesco a calcolarlo perché è un numero troppo grande... la formula n!/k!(n-k)! la conoscevo già, solo che sia il pc che la calcolatrice mi danno errore di overflow... Pensavo ci fosse una formula semplificata...
be no, formula semplificata no...però puoi semplificare il fattoriale... nel senso, prendiamo quello delle cinquine:
[tex]\frac{\binom{10}{5}}{\binom{90}{5}} = \frac{\frac{10!}{5!\cdot 5!}}{\frac{90!}{5!\cdot 85!}}[/tex]
la cosa che forse non hai notato è che 90! lo puoi scrivere come [tex]90\cdot 89\cdot 88\cdot 87\cdot 86 \cdot 85![/tex] e di conseguenza lo puoi semplificare...e viene un calcolo razionalmente più accettabile ^^
Nella formula proposta (C x) / (N x) la probabilità viene invariante rispetto a k.
E' come se considerassi che nel caso dell'ambo venissero estratti 2 numeri, nel caso del terno 3 numeri, ecc. mentre in realtà sono estratti sempre 5 numeri.
Esempio x = 2
Se gioco C numeri ho (C 2) possibili coppie vincenti
Se vengono estratti K numeri su N ci sono (N K) possibili k-ple estratte ciascuna delle quali ha (K 2) coppie
Quindi il numero di possibili estrazioni totali è (N K) e il numero di estrazioni vincenti (almeno 2 corrispondenze) è (C 2) * (K 2)
La formula è (C 2) * (K 2) / (N K)
In generale la formula esatta è: (C x) * (K x) / (N K)
Però nel caso dell'ambo sono compresi anche i terni, le quaterne e le cinquine, nei terni sono comprese anche le quaterne e cinquine, nelle quaterne sono comprese anche le cinquine, quindi vanno calcolate dall'ultima alla prima e poi sottratte.
Almeno credo...
P.S. Qualcuno che si cimenti con il problema da me proposto (poisson)?
P.P.S. Auguri di felice Pasqua
E' come se considerassi che nel caso dell'ambo venissero estratti 2 numeri, nel caso del terno 3 numeri, ecc. mentre in realtà sono estratti sempre 5 numeri.
Esempio x = 2
Se gioco C numeri ho (C 2) possibili coppie vincenti
Se vengono estratti K numeri su N ci sono (N K) possibili k-ple estratte ciascuna delle quali ha (K 2) coppie
Quindi il numero di possibili estrazioni totali è (N K) e il numero di estrazioni vincenti (almeno 2 corrispondenze) è (C 2) * (K 2)
La formula è (C 2) * (K 2) / (N K)
In generale la formula esatta è: (C x) * (K x) / (N K)
Però nel caso dell'ambo sono compresi anche i terni, le quaterne e le cinquine, nei terni sono comprese anche le quaterne e cinquine, nelle quaterne sono comprese anche le cinquine, quindi vanno calcolate dall'ultima alla prima e poi sottratte.
Almeno credo...
P.S. Qualcuno che si cimenti con il problema da me proposto (poisson)?
P.P.S. Auguri di felice Pasqua
"barto":
Nella formula proposta (C x) / (N x) la probabilità viene invariante rispetto a k.
E' come se considerassi che nel caso dell'ambo venissero estratti 2 numeri, nel caso del terno 3 numeri, ecc. mentre in realtà sono estratti sempre 5 numeri.
In generale la formula esatta è: (C x) * (K x) / (N K)
Però nel caso dell'ambo sono compresi anche i terni, le quaterne e le cinquine, nei terni sono comprese anche le quaterne e cinquine, nelle quaterne sono comprese anche le cinquine, quindi vanno calcolate dall'ultima alla prima e poi sottratte.
Dunque, la prima formula (c x) / (N x) è in generale quella utilizzata per calcolare le possibilità di vincere al Lotto. Ad esempio le possibilità di fare ambo sono 1 su 400,5. Questa probabilità è calcolata considerando 5 numeri estratti e due giocati. Ma se i numeri giocati diventano 3, tale formula non va più bene. Eppure, nella formula più generale da te proposta c'è qualcosa che non quadra dato che mi vengono dei valori piccolissimi...
Non è forse (C x) * (K x) / (N x) (ultima lettera x e non K)? Grazie di nuovo e buona Pasquetta =)
Dunque, la prima formula (c x) / (N x) è in generale quella utilizzata per calcolare le possibilità di vincere al Lotto. Ad esempio le possibilità di fare ambo sono 1 su 400,5. Questa probabilità è calcolata considerando 5 numeri estratti e due giocati. Ma se i numeri giocati diventano 3, tale formula non va più bene.
Mi sembra strano quello che dici, perché nella formula (c x) / (N x) il k non compare quindi essa non tiene conto di quanti sono i numeri estratti (cioè 5), infatti il numeratore ti dice quante x-ple sono possibili con c numeri e il denominatore quante x-ple sono possibili con N numeri, non ti dice come sarebbe giusto quante x-ple sono possibili con K numeri estratti tra N...
se K sono proprio x, allora la formula è corretta, se K sono più di x allora la formula va moltiplicata per (k x) perché i casi possibili crescono in ragione di questo fattore: in questo modo se K cresce, la probabilità di vincere, a parità di N, cresce anch'essa, cosa che nella formula precedente non accadeva...
Eppure, nella formula più generale da te proposta c'è qualcosa che non quadra dato che mi vengono dei valori piccolissimi...
Non è forse (C x) * (K x) / (N x) (ultima lettera x e non K)? Grazie di nuovo e buona Pasquetta =)
Sì, dovrebbe essere così, per la spiegazione di sopra:
(C x) * (K x) / (N x)
ora se K = 5 e x = 5 siamo nel caso precedente, altrimenti no. però, secondo me, dal risultato che ottieni per una certa x < k devi sottrarre le probabilità che ottieni per tutti gli x'| x'> x, x'<=k perché ad esempio anche quando fai terno hai indovinato due numeri, solo che in quel caso non è ambo perché hai indovinato anche il terzo!
p.s. dai cimentatevi con poisson....
Beh ma se tu fai un terno ti vengono pagati anche gli ambi formati con il terno, no? Voglio dire, se fai terno con 1, 2, 3, vinci anche gli ambi 1,2 ; 1,3 ; 2,3... quindi dovrebbero essere conteggiati. Però forse ho capito male io.
ah sì? se è così allora come non detto! non gioco molto al lotto 
Non ne ho la certezza assoluta però mi pare fosse così. Grazie mille per l'aiuto comunque =)
"broc93":
Beh ma se tu fai un terno ti vengono pagati anche gli ambi formati con il terno, no? Voglio dire, se fai terno con 1, 2, 3, vinci anche gli ambi 1,2 ; 1,3 ; 2,3... quindi dovrebbero essere conteggiati. Però forse ho capito male io.
Dipende se hai puntato tutto sul terno a no.
Se giochi ad esempio 10 euro, puoi decidere in che modo ripartire la tua giocata tra le varie vincite.
Nel tuo esempio, pur essendoci 3 ambi, te ne pagheranno uno solo.
Ah, ne viene pagato uno solo? Credevo venissero pagati tutti e tre...
E, ho un altro dubbio. Se io anziché giocare su una ruota decidessi di giocare su due, le probabilità diventano esattamente il doppio, trattandosi di due estrazioni indipendenti una dall'altra, giusto? Se gioco su tutte, la probabilità aumenta di dieci volte. Voglio dire, se gioco due numeri su Milano ho una possibilità su 400,5 di fare ambo, se lo gioco su tutte ne ho una su 40,05 no?
E, ho un altro dubbio. Se io anziché giocare su una ruota decidessi di giocare su due, le probabilità diventano esattamente il doppio, trattandosi di due estrazioni indipendenti una dall'altra, giusto? Se gioco su tutte, la probabilità aumenta di dieci volte. Voglio dire, se gioco due numeri su Milano ho una possibilità su 400,5 di fare ambo, se lo gioco su tutte ne ho una su 40,05 no?
"broc93":
Ah, ne viene pagato uno solo? Credevo venissero pagati tutti e tre...
Si, in effetti te li pagano tutti e 3, ma è come se te ne pagassero 1.
Mi spiego:
Giochi 10 Euro, ripartisci la giocata in 7 Euro per il terno e 3 Euro per l'ambo.
Giochi 3 numeri [1-2-3], ed escono tutti e 3.
Fai il terno e 3 ambi, quindi vinci:
$7 * (Quotaterno)$
i 3 Euro dell'ambo vanno divisi per i 3 ambi possibili (1-2) (1-3) (2-3) [come se tu avessi giocato 1 Euro per ognuno dei 3 ambi]
$3/3*3 * (Quotaambo)$
Ah beh, quello sicuramente. Altrimenti ci perderebbero
"broc93":
E, ho un altro dubbio. Se io anziché giocare su una ruota decidessi di giocare su due, le probabilità diventano esattamente il doppio, trattandosi di due estrazioni indipendenti una dall'altra, giusto? Se gioco su tutte, la probabilità aumenta di dieci volte. Voglio dire, se gioco due numeri su Milano ho una possibilità su 400,5 di fare ambo, se lo gioco su tutte ne ho una su 40,05 no?
Rispondetemi per favore =)
"broc93":
[quote="broc93"]E, ho un altro dubbio. Se io anziché giocare su una ruota decidessi di giocare su due, le probabilità diventano esattamente il doppio, trattandosi di due estrazioni indipendenti una dall'altra, giusto? Se gioco su tutte, la probabilità aumenta di dieci volte. Voglio dire, se gioco due numeri su Milano ho una possibilità su 400,5 di fare ambo, se lo gioco su tutte ne ho una su 40,05 no?
Rispondetemi per favore =)[/quote]
No, la probabilità non è proporzionale. Controesempio banale: se lancio un dado, la p. di fare sei è $1/6$. Se fosse proporzionale, lanciando 10 dadi la p. diventerebbe $10/6$ ovvero maggiore di 1 (ovvero maggiore del 100%) il che è evidentemente assurdo.
Eppure, se gioco su tutte, la vincita mi viene divisa per dieci. Invece per calcolare la probabilità, devo inserire un'altra variabile nel calcolo?
Per quanto viene divisa e/o quanto paga il Lotto è ininfluente nel calcolo, visto che è un gioco fortemente squilibrato a favore del banco: per esempio un ambo paga 250 e ha $p=2/801$ di successo, quindi paga non dico la metà ma quasi.
Devi considerare gli eventi singoli: sono indipendenti e puoi applicare la formula della distribuzione binomiale. Data $p$ probabilità di successo e $q=1-p$ probabilità di insuccesso, calcoli la probabilità che in $n$ prove distinte si verifichi esattamente $k$ volte l'evento con
$P(X=k)=((n),(k))p^k*q^(n-k)$
Nel caso del lotto, calcoli in $n=10$ prove qual è la p. di non fare mai ambo (ovvero $k=0$) con $p=2/801$, e da questa la p. di fare ambo almeno una volta su tutte le dieci ruote (infatti: sempre la solita cifra il lotto paga, sia l'ambo ti esca su una sola ruota, sia su due, tre, sette, tutte...)
Probabilità di NON fare ambo: $P(X=0)=(799/801)^10 =~ 0.9753 =~ 97.53%$
Probabilità di fare (almeno un) ambo: $1-P(X=0) =~ 2.47%$
Ovvero meno di $1/40$, all'incirca dieci volte maggiore della p. di fare un ambo "secco"
Devi considerare gli eventi singoli: sono indipendenti e puoi applicare la formula della distribuzione binomiale. Data $p$ probabilità di successo e $q=1-p$ probabilità di insuccesso, calcoli la probabilità che in $n$ prove distinte si verifichi esattamente $k$ volte l'evento con
$P(X=k)=((n),(k))p^k*q^(n-k)$
Nel caso del lotto, calcoli in $n=10$ prove qual è la p. di non fare mai ambo (ovvero $k=0$) con $p=2/801$, e da questa la p. di fare ambo almeno una volta su tutte le dieci ruote (infatti: sempre la solita cifra il lotto paga, sia l'ambo ti esca su una sola ruota, sia su due, tre, sette, tutte...)
Probabilità di NON fare ambo: $P(X=0)=(799/801)^10 =~ 0.9753 =~ 97.53%$
Probabilità di fare (almeno un) ambo: $1-P(X=0) =~ 2.47%$
Ovvero meno di $1/40$, all'incirca dieci volte maggiore della p. di fare un ambo "secco"
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